Nierówność z tangensem

[zatt1337]

Witam, przychodzę z zapytaniem odnośnie nierówności.
Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ -1 < \tg \left( \frac{1}{2} - \cos \left( x\right) \right) < 15}\)
O ile lewa strona poszła mi bez problemu, prawa sprawia mały kłopot.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ -1 < \tg\left( \frac{1}{2} - \cos\left( x\right) \right) < 15}\)

To oczywiste. Wystarczy spojrzeć na argument tangensa ( w radianach):

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \cos x \le \frac{3}{2}}\)

[zatt1337]

To oczywiście rozumiem, ale jak stwierdzić ze \(\displaystyle{ \tg\left(1,5\right)<15}\)?

[Premislav]

Np. tak: dla \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)}\) funkcja \(\displaystyle{ \tg x}\) jest rosnąca. Mamy też: \(\displaystyle{ \frac{3}{2} < \frac{11\pi}{24} < \frac{\pi}{2}}\)
Natomiast \(\displaystyle{ \tg \frac{11\pi}{24}=\tg \left( \frac{\pi}{3}+ \frac{\pi}{8}\right)= \frac{\tg \frac{\pi}{3} +\tg \frac{\pi}{8} }{1-\tg \frac{\pi}{3}\tg \frac{\pi}{8}}}\). No a \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{8}}\) chyba umiesz wyliczyć, znając \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{4}}\)
A jeśli nie, to tu masz podany wzór, starczy przekształcić: 192951.htm
A dalej jakieś grube szacowanie pierwiastków z dwóch i trzech.

[zatt1337]

pieknie dziekuje, teraz wszystko jasne i czyste, pozdrawiam