Nieco zaawansowane równania i nierówności trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Veelenar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 11 sty 2015, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy

Nieco zaawansowane równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: Veelenar »

\(\displaystyle{ |\cos x| = \cos x + 2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ 4^{\frac{\sin x}{2}}8^{\frac{\sin 2x}{3}} = 2^{\sin 4x}}\)
\(\displaystyle{ |\sin^{4}x - \cos^{4}x| = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{4}{9} \right) ^{2 \sin^{2}x} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{4 \cos^{2}x} = \frac{26}{27}}\)



Proszę ślicznie o pomoc w rozwiązaniu tych równań, jutro mam kolokwium i chcę zdać
Ostatnio zmieniony 27 sty 2015, o 19:31 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Nieco zaawansowane równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: chris_f »

W ostatnim trochę przekształceń
\(\displaystyle{ \left(\frac49\right)^{2\sin^2x}+\left(\frac23\right)^{4\cos^2x}=\frac{26}{27}}\)
\(\displaystyle{ \left[\left(\frac49\right)^2\right]^{\sin^2x}+
\left[\left(\frac23\right)^4\right]^{\cos^2x}=\frac{26}{27}}\)

\(\displaystyle{ \left[\frac{16}{81}\right]^{\sin^2x}+
\left[\frac{16}{81}\right]^{\cos^2x}=\frac{26}{27}}\)

\(\displaystyle{ \left[\frac{16}{81}\right]^{\sin^2x}+
\left[\frac{16}{81}\right]^{1-\sin^2x}=\frac{26}{27}}\)

\(\displaystyle{ \left[\frac{16}{81}\right]^{\sin^2x}+
\frac{\frac{16}{81}}{\left[\frac{16}{81}\right]^{\sin^2x}}=\frac{26}{27}}\)

Podstawiasz za \(\displaystyle{ \left[\frac{16}{81}\right]^{\sin^2x}=t}\) i rozwiązujesz.

W trzecim
\(\displaystyle{ |\sin^4x-\cos^4x|=\frac12}\)
\(\displaystyle{ |(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x|=\frac12}\)
\(\displaystyle{ |\sin^2x-\cos^2x|=\frac12}\)
\(\displaystyle{ |-\cos2x|=\frac12}\)
\(\displaystyle{ \cos2x=\frac12\vee \cos2x=-\frac12}\)
no a to już elementarz.

W drugim banalnie
\(\displaystyle{ 4^{\frac{\sin x}{2}}\cdot8^{\frac{\sin 2x}{3}} = 2^{\sin 4x}}\)
\(\displaystyle{ (2^2)^{\frac{\sin x}{2}}\cdot(2^3)^{\frac{\sin 2x}{3}} = 2^{\sin 4x}}\)
\(\displaystyle{ 2^{\sin x}\cdot2^{\sin2x}=2^{\sin4x}}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x=\sin4x}\)
To już powinno być proste.

W pierwszym rozważ dwa przypadki ze względu na znak cosinusa.
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Nieco zaawansowane równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: jarek4700 »

Pierwsze, dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1) \cos x \ge 0 => 2\sin x = 0}\)
Rozwiąż to i uwzględnij dziedzinę z tego \(\displaystyle{ \cos x \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 2) \cos x < 0 => 2\left(\cos x + \sin x\right) = 0 => 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) = 0 => \\ => 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) = 0 => 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) = 0}\)

Też dziedzina.
ODPOWIEDZ