Wyznacz najmniejszą wartość funkcji

[karololcia]

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji oraz rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ f(x) \le f(2x)}\)

\(\displaystyle{ f(x)=(\tg x+\ctg x)^2}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cdot \cos x}= \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \ge 2}\)
Skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \ge 2ab}\).

[piasek101]

\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cdot \cos x}= \frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \ge 2}\)

Z czego ta ostatnia nierówność ?

[Zahion]

Racja, wskazówka nie na miejscu i tym bardziej nieprawdziwa jeśli iloczyn w mianowniku jest ujemny. Dziękuje za poprawę.
Aczkolwiek można to szybko poprawić, mianowicie
\(\displaystyle{ (\tg x+\ctg x)^2 = (\tg ^{2} x +\ctg ^{2} x) + 2 = \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}+ \frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} + 2 \ge 4}\)
Korzystając z tej samej nierówności. Tym razem mamy pewność, że liczby są dodatnie.

[karololcia]

Dziękuję za poprzednie wskazówki

Po wyliczeniu dochodzę do nierówności \(\displaystyle{ \left( \sin ^2x-\cos ^2x \right) ^2 \ge 0}\)

i co dalej?????

[Dilectus]

Po wyliczeniu dochodzę do nierówności \(\displaystyle{ \left( \sin ^2x-\cos ^2x \right) ^2 \ge 0}\)

i co dalej?????[/latex]

Dalej tak: zauważasz, że ta nierówność jest spełniona dla wszystkich iksów (dlaczego?), i że

\(\displaystyle{ \sin ^2x-\cos ^2x =-\cos 2x}\)

I lecisz dalej...

[piasek101]

Ale nie zapominamy o dziedzinie.

[Dilectus]

To prawda. Wynika ona z początkowego równania, a więc z tego, że muszą istnieć funkcje \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ \ctg x}\)