Udowodnij równość dla kątów w trójkącie prostokątnym.

[Balusiek]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami ostrymi pewnego trójkąta prostokątnego, to
\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha +\sin 2 \beta =4\sin \alpha \sin \beta}\)
Czy to rozwiązanie jest oprawne:
\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha +\sin 2 \beta =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha=2\sin \alpha \sin \beta +2\sin \beta \sin \alpha = 4\sin \alpha \sin \beta}\)

[musialmi]

Ono jest poprawne do tego miejsca: \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha +\sin 2 \beta =2\sin \alpha \cos \alpha+\dots}\).

[Balusiek]

a dalej przecież \(\displaystyle{ \alpha + \beta =90}\), czyli \(\displaystyle{ \beta=90- \alpha}\) a \(\displaystyle{ \cos \alpha =\sin(90- \alpha)}\) czyli \(\displaystyle{ \sin \beta}\)

[Dilectus]

Może skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów:

\(\displaystyle{ \sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y} 2 \cdot \cos \frac {x \mp y } 2}\)

[loitzl9006]

Wg mnie poprawne rozw. tylko literówka się przytrafiła w jednym miejscu i stąd nieporozumienie

\(\displaystyle{ \sin2\alpha+\sin2\beta=2\sin\alpha\cdot \underbrace{\cos\alpha}_{\sin\beta}+2\sin\beta\cdot\underbrace{\cos\beta}_{\sin\alpha}=2\sin\alpha\cdot\sin\beta+2\sin\beta\cdot\sin\alpha=4\sin\alpha\cdot\sin\beta}\)