Hej, proszę o pomoc, z góry dzięki;-)
zad. 1.
Funkcja \(\displaystyle{ f: \left\langle 0;10 \right\rangle \rightarrow R}\) dana jest za pomocą wzoru \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos \pi x}\). Suma wszystkich miejsc zerowych jest równa:
A. \(\displaystyle{ 50}\) B. \(\displaystyle{ 90}\) C. \(\displaystyle{ 100}\) D. \(\displaystyle{ 105}\)
zad. 2.
Ile rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sin x \left| \cos x \right| = \frac{1}{4}}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0;172 \pi \right\rangle}\) ? Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności wyznaczonej liczby.
2 krótkie zadania.
2 krótkie zadania.
Ostatnio zmieniony 22 sty 2015, o 19:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
2 krótkie zadania.
1.
okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ \cos kx}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{k}}\), czyli u nas: \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{\pi}= 2}\)
miejsca zerowe w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0 ; 2 \rangle}\) będą dwa: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} , \frac{3}{2}}\).
Ta para będzie się powtarzać idąc w prawo o \(\displaystyle{ 2,4,6}\) i \(\displaystyle{ 8}\).
szukana suma \(\displaystyle{ = 5 \dcot (\frac{1}{2} +\frac{3}{2}) + 2 \cdot (2+4 + 6 + 8) = 50}\)
okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ \cos kx}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{k}}\), czyli u nas: \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{\pi}= 2}\)
miejsca zerowe w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0 ; 2 \rangle}\) będą dwa: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} , \frac{3}{2}}\).
Ta para będzie się powtarzać idąc w prawo o \(\displaystyle{ 2,4,6}\) i \(\displaystyle{ 8}\).
szukana suma \(\displaystyle{ = 5 \dcot (\frac{1}{2} +\frac{3}{2}) + 2 \cdot (2+4 + 6 + 8) = 50}\)
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
2 krótkie zadania.
2.
można rozbić równanie na dwa równania:
a) \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4}}\), dla \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
b) \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x = -\frac{1}{4}}\), dla \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
a) \(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = \frac{1}{2}}\)
Ostatnie równanie ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle}\) dwa rozwiązania(widać to z wykresu), w tym przedziale również spełnione jest założenie \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania(widać to z wykresu) również w przedziale \(\displaystyle{ \langle \pi; \frac{3\pi}{2} \rangle}\) , ALE w tym przedziale nie jest spełnione założenie \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
b) \(\displaystyle{ \sin 2x = -\frac{1}{2}}\)
Ostatnie równanie ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle\frac{\pi}{2}; \pi \rangle}\) dwa rozwiązania(widać to z wykresu), w tym przedziale również spełnione jest założenie \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania(widać to z wykresu) również w przedziale \(\displaystyle{ \langle \frac{3\pi}{2}; 2\pi \rangle}\) , ALE w tym przedziale nie jest spełnione założenie \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Reasumując:
Równanie \(\displaystyle{ \sin x \left| \cos x \right| = \frac{1}{4}}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0 ; \pi \rangle}\) cztery rozwiązania które spełniają odpowiednie założenia oraz rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ \langle \pi ; 2\pi \rangle}\) które musimy odrzucić.
Sytuacja się powtarza co \(\displaystyle{ 2\pi}\). Razem będzie \(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{172}{2} = 344}\) rozwiązań
można rozbić równanie na dwa równania:
a) \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4}}\), dla \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
b) \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x = -\frac{1}{4}}\), dla \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
a) \(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = \frac{1}{2}}\)
Ostatnie równanie ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle}\) dwa rozwiązania(widać to z wykresu), w tym przedziale również spełnione jest założenie \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania(widać to z wykresu) również w przedziale \(\displaystyle{ \langle \pi; \frac{3\pi}{2} \rangle}\) , ALE w tym przedziale nie jest spełnione założenie \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
b) \(\displaystyle{ \sin 2x = -\frac{1}{2}}\)
Ostatnie równanie ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle\frac{\pi}{2}; \pi \rangle}\) dwa rozwiązania(widać to z wykresu), w tym przedziale również spełnione jest założenie \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania(widać to z wykresu) również w przedziale \(\displaystyle{ \langle \frac{3\pi}{2}; 2\pi \rangle}\) , ALE w tym przedziale nie jest spełnione założenie \(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Reasumując:
Równanie \(\displaystyle{ \sin x \left| \cos x \right| = \frac{1}{4}}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0 ; \pi \rangle}\) cztery rozwiązania które spełniają odpowiednie założenia oraz rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ \langle \pi ; 2\pi \rangle}\) które musimy odrzucić.
Sytuacja się powtarza co \(\displaystyle{ 2\pi}\). Razem będzie \(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{172}{2} = 344}\) rozwiązań