Równanie trygonometryczne

[Mat123456789]

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 1}\)

Ja spróbowałem to zrobić tak

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + (1 -2\sin^{2} \frac{x}{2} ) =1}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2\sin^{2} \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}}\)

Gdzieś tutaj jest jakiś błąd, mógłby go ktoś wskazać?

[szw1710]

Dzielenie przez \(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}}\). Czy zawsze można je wykonać?

[Mat123456789]

Ok rozumiem jak 0 to nie czyli muszę to inaczej sprawdzić .

Jednak może być też druga opcja taka jak ja mam i sinus i cosinus są równe dla \(\displaystyle{ 45+ 2k \pi i 225 +2k \pi}\) , i wtedy mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} +4k \pi i \frac{5 \pi }{2} +4k \pi}\) a powinno \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\). Gdzie tutaj jest błąd ??

[Dilectus]

Spróbuj tak:

1)
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 1}\)

Pomnóż obie strony równania przez \(\displaystyle{ \sin x - \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 x-\cos^2 x =\sin x - \cos x}\)

Dodaj do tego stronami równanie 1) i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ \sin^2 x-\cos^2 x +1=2 \sin x}\)

\(\displaystyle{ 2\sin^2x=2\sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin^2x=\sin x \ \Rightarrow \ \sin x =0 \vee \sin x = 1}\)

Dalej już jest trywialnie...

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \sin{x}+\sin{\left( \frac{\pi}{2}-x \right) }=2\sin{ \frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2} }\cos{ \frac{x-\left( \frac{\pi}{2}-x \right) }{2} }\\
= \sqrt{2}\cos{\left(x-\frac{\pi}{4}\right) } \\}\)