problem z równaniem

[Mat123456789]

\(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}}\)

Podnoszę to obustronnie do kwadratu i zostaje mi

\(\displaystyle{ 1+2\sin3x\cos3x = 2}\)

dalej że \(\displaystyle{ \sin6x =1 = \frac{ \pi }{12} + \frac{k \pi }{3}}\)

To jest jednak zły wynik równania, czy ktoś mógłby wskazać, gdzie w tej metodzie jest błąd

[Qń]

Podnoszenie równania stronami do kwadratu nie jest przejściem równoważnym.

Q.

[Mat123456789]

A Dlaczego??

[dargenn]

Lewa strona nie zawsze będzie dodatnia.

[Qń]

Łatwo widać to na przykładzie:
\(\displaystyle{ x=1 \Rightarrow x^2=1}\).

To wynikanie jest oczywiście poprawne, ale nie można zastąpić go przez równoważność - widać bowiem gołym okiem, że pierwsze równanie spełnia tylko \(\displaystyle{ 1}\), a drugie \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Tak samo u Ciebie po podniesieniu stronami do kwadratu pojawiają się nowe rozwiązania (te dla których w wyjściowym równaniu lewa strona jest ujemna).

Q.

[Mat123456789]

ok, rozumiem bardzo dziękuję za pomoc