Równanie trygonometryczne z cechą

[Hendra]

Witam!
Mam do rozwiązania takie równanie:
\(\displaystyle{ \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right] = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Doszedłem do tego (podam tylko jedno rozwiązanie):
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{x} \right]= \frac{\pi}{4}+2k\pi, k \in C}\)
Dalej trzeba ułożyć nierówność? Jak ją rozwiązać ze względu na znak x?
Z góry dziękuję za pomoc!

[kerajs]

Aby równanie było spełnione to argument sinusa musi być niewymierny:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \left( \alpha _{1} = \pi \left( \frac{ 1 }{4}+k2 \right) \vee \alpha _{2} = \pi \left( \frac{ 3 }{4}+k2 \right) \right)}\)
A Twój jest całkowity.
Wniosek: brak rozwiązania.

[Hendra]

Dziękuję bardzo! Już się rozjaśniło.
Czyli aby takie równania miały rozwiązania muszą być one postaci:
\(\displaystyle{ \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right] =1 \vee \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right]=0 \vee \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right]=-1}\)?

[kerajs]

Dziękuję bardzo! Już się rozjaśniło.

Chyba mnie nie zrozumiałaś. Napisałem, że równanie z pierwszego postu jest spełnione tylko dla niewymiernych kątów o w postaci którą przedstawiłem . A ta niewymierność wynika z iloczynu liczby niewymiernej (pi) i wymiernej (ułamek zwykły + całkowita)co daje liczbe niewymierną'
A ty masz kąty będące liczbami całkowitymi wiec nie niewymiernymi.

Czyli aby takie równania miały rozwiązania muszą być one postaci:
\(\displaystyle{ \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right] =1 \vee \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right]=0 \vee \sin\left[ \frac{ \pi }{x} \right]=-1}\)?

Powyższe rozumpwanie sprawia że pierwsze i trezcie równanie nie ma rozwiazania, Drugie spełnione jest tylko dla kąta równego zero
\(\displaystyle{ \left| \frac{ \pi }{x} \right| =0 \Rightarrow x> \pi}\)

[Hendra]

Ale w równaniu:
\(\displaystyle{ \sin\left[ \frac{\pi}{x} \right] =0}\)
rozwiązanie mamy postaci:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{x} \right] =k\pi,k \in C}\)
czyli po prawej stronie niewymierna i całkowita daje niewymierną.
Gdzie źle myślę?

[kerajs]

Gdzie źle myślę?

Myślisz bardzo dobrze. Tu masz nieskończenie wiele liczb niewymiernych dla różnych k, ale ... dla \(\displaystyle{ k=0}\) jest jedna jedyna liczba wymierna czyli zero. A to już Ci napisałem w poprzednim poscie.

[Hendra]

Myślisz bardzo dobrze. Tu masz nieskończenie wiele liczb niewymiernych dla różnych k, ale ... dla k=0 jest jedna jedyna liczba wymierna czyli zero. A to już Ci napisałem w poprzednim poscie.

Dziękuję bardzo! Teraz stało się wszystko jasne
Czyli jednym słowem gdy dodajemy jakieś niewymierności postaci \(\displaystyle{ \frac{x\pi}{y}}\) równania tego typu rozwiązań nie mają?

[kerajs]

Równania typu :
\(\displaystyle{ \left[ f(x)\right] = \frac{a}{b} \pi}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in W \setminus \left\{ 0\right\}}\)
nie mają rozwiązania bo wartości lewej i prawej strony należą do dwóch rozłącznych zbiorów, tj do liczb całkowitych i niewymiernych.

[Hendra]

Bardzo dziękuję!
Już wiem jak takie rzeczy rozwiązywać. Super wytłumaczone