Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: Wiesiek7 »

Witam Czy mógłbym prosić o obliczenia wartości wyrażenia trygonometrycznego?
\(\displaystyle{ \frac{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36} }{\tg \frac{\pi}{36}}}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2015, o 17:32 przez Wiesiek7, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Obliczyć równanie trygonometryczne

Post autor: mortan517 »

Równanie? Więc gdzie znak równości i jego druga strona?
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: Wiesiek7 »

Masz rację popełniłem błąd. Chodziło mi o wyznaczenie wartości tego wyrażenia
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: Premislav »

Ja bym zaatakował tak: rozpiszmy jakoś sprytnie albo niesprytnie ten licznik.
\(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36}= \frac{\sin \frac{5 \pi}{36} \sin \frac{7 \pi}{36} }{\cos \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{7 \pi}{36}}}\)
A teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}\)
oraz \(\displaystyle{ 2\cos \alpha \cos \beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}\).-- 18 sty 2015, o 17:51 --Dalej parzystość cosinusa się może przydać.
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: Wiesiek7 »

Nie wychodzi mi
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: Premislav »

To przepraszam, bez sensu jest ta moja "podpowiedź", też nie doliczyłem w ten sposób, więc proponowałbym zapomnieć o tej drodze donikąd. Teraz zobaczyłem, że mamy w liczniku \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{6}- \frac{\pi}{36}\right)\tg \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{36}\right)}\), ale z tego też mi nic nie wyszło, wyprowadziłem sobie wzory na tangens sumy i różnicy, ale niczego ciekawego z tego dalej nie uzyskałem.
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego

Post autor: wujomaro »

Premislav pisze:Ja bym zaatakował tak: rozpiszmy jakoś sprytnie albo niesprytnie ten licznik.
\(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36}= \frac{\sin \frac{5 \pi}{36} \sin \frac{7 \pi}{36} }{\cos \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{7 \pi}{36}}}\)
Premislav, dobrze tu zaatakowałeś.

W ten sposób ułatwimy sobie licznik. Dojdziemy do postaci \(\displaystyle{ \frac{\cos 10^\circ - \cos 60^\circ}{\cos 10^\circ + \cos 60^\circ}}\)
Teraz ułatwmy sobie sprawę wprowadzając \(\displaystyle{ 5^\circ = \frac{\pi}{36}=t}\)
W mianowniku całego początkowego wyrażenia zapisujemy tangens jako iloraz sinusa i cosinusa, wymnażamy z policzonym licznikiem, ponownie wzory na iloczyn cosinusów/sinusa i cosinusa, a potem zauważamy, że \(\displaystyle{ 3t= 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ}\).
Tak dojdziemy do końcowego wyniku.
Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ