Witam Czy mógłbym prosić o obliczenia wartości wyrażenia trygonometrycznego?
\(\displaystyle{ \frac{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36} }{\tg \frac{\pi}{36}}}\)
Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego
Ja bym zaatakował tak: rozpiszmy jakoś sprytnie albo niesprytnie ten licznik.
\(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36}= \frac{\sin \frac{5 \pi}{36} \sin \frac{7 \pi}{36} }{\cos \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{7 \pi}{36}}}\)
A teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}\)
oraz \(\displaystyle{ 2\cos \alpha \cos \beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}\).-- 18 sty 2015, o 17:51 --Dalej parzystość cosinusa się może przydać.
\(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36}= \frac{\sin \frac{5 \pi}{36} \sin \frac{7 \pi}{36} }{\cos \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{7 \pi}{36}}}\)
A teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}\)
oraz \(\displaystyle{ 2\cos \alpha \cos \beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}\).-- 18 sty 2015, o 17:51 --Dalej parzystość cosinusa się może przydać.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego
To przepraszam, bez sensu jest ta moja "podpowiedź", też nie doliczyłem w ten sposób, więc proponowałbym zapomnieć o tej drodze donikąd. Teraz zobaczyłem, że mamy w liczniku \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{6}- \frac{\pi}{36}\right)\tg \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{36}\right)}\), ale z tego też mi nic nie wyszło, wyprowadziłem sobie wzory na tangens sumy i różnicy, ale niczego ciekawego z tego dalej nie uzyskałem.
- wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Obliczyć wartość wyrażenia trygonometrycznego
Premislav, dobrze tu zaatakowałeś.Premislav pisze:Ja bym zaatakował tak: rozpiszmy jakoś sprytnie albo niesprytnie ten licznik.
\(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi}{36} \cdot \tg \frac{7 \pi}{36}= \frac{\sin \frac{5 \pi}{36} \sin \frac{7 \pi}{36} }{\cos \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{7 \pi}{36}}}\)
W ten sposób ułatwimy sobie licznik. Dojdziemy do postaci \(\displaystyle{ \frac{\cos 10^\circ - \cos 60^\circ}{\cos 10^\circ + \cos 60^\circ}}\)
Teraz ułatwmy sobie sprawę wprowadzając \(\displaystyle{ 5^\circ = \frac{\pi}{36}=t}\)
W mianowniku całego początkowego wyrażenia zapisujemy tangens jako iloraz sinusa i cosinusa, wymnażamy z policzonym licznikiem, ponownie wzory na iloczyn cosinusów/sinusa i cosinusa, a potem zauważamy, że \(\displaystyle{ 3t= 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ}\).
Tak dojdziemy do końcowego wyniku.
Pozdrawiam!