Wykaż ze dla kazdej liczby x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sin ^{8}x+\cos ^{8}x \ge \frac{1}{8}}\)
Proszę o pokaznie krok po kroku jak to rozwiązać będe bardzo wdzięczny.
Rozwiąż nierówność
-
szymondk60
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 10 sty 2013, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 11 razy
Rozwiąż nierówność
Ostatnio zmieniony 11 sty 2015, o 14:20 przez Qń, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
szymondk60
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 10 sty 2013, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 11 razy
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Rozwiąż nierówność
Niech \(\displaystyle{ a = \sin x, b=\cos x}\), mamy, że
Mamy, że \(\displaystyle{ \sqrt[8]{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} } \ge \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} \ge \frac{2^{4}}{2^{8}}= \frac{1}{16}}\), czyli \(\displaystyle{ a^{8}+b^{8} \ge \frac{1}{8}}\)
Można też łatwiej
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \ge \frac{(x+y)^{2}}{2}}\)
mamy wtedy, że
\(\displaystyle{ a^{8}+b^{8} \ge \frac{(a^{4}+b^{4})^{2}}{2} \ge \frac{ (\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2})^{2} }{2}= \frac{1}{8}}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ \sqrt[8]{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} } \ge \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} \ge \frac{2^{4}}{2^{8}}= \frac{1}{16}}\), czyli \(\displaystyle{ a^{8}+b^{8} \ge \frac{1}{8}}\)
Można też łatwiej
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \ge \frac{(x+y)^{2}}{2}}\)
mamy wtedy, że
\(\displaystyle{ a^{8}+b^{8} \ge \frac{(a^{4}+b^{4})^{2}}{2} \ge \frac{ (\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2})^{2} }{2}= \frac{1}{8}}\)
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Rozwiąż nierówność
Skąd wiesz, że
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} } \ge \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ?
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{ \frac{a^{8}+b^{8}}{2} } \ge \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ?
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Rozwiąż nierówność
Można udowodnić.
Potęgując, mamy, że
\(\displaystyle{ 8(a^{8}+b^{8}) \ge (a^{2}+b^{2})^{4}=a^{8}+b^{8}+4(a^{2}b^{6}+a^{6}b^{2})+6a^{4}b^{4}}\)
Po redukcji z Muirhead'a mamy, że
\(\displaystyle{ L = 3T _{8,0}(a,b)+4T _{8,0}(a,b) \ge 3T _{4,4}(a,b)+4T _{6,2}(a,b) = P}\)
Oczywiście nie dowodziłem tego, to szczególny przypadek ogólniejszej nierówności, mianowicie nierówności między średnimi potęgowymi, przy czym zasugerowałem tutaj \(\displaystyle{ a, b > 0}\)(można było położyć \(\displaystyle{ a = \sin^{2} x, b = \cos^{2} x}\), żeby pozbyć się warunku .)
Oczywiście ta ostatnia nierówność jest oczywista, jedynka trygonometryczna.
Potęgując, mamy, że
\(\displaystyle{ 8(a^{8}+b^{8}) \ge (a^{2}+b^{2})^{4}=a^{8}+b^{8}+4(a^{2}b^{6}+a^{6}b^{2})+6a^{4}b^{4}}\)
Po redukcji z Muirhead'a mamy, że
\(\displaystyle{ L = 3T _{8,0}(a,b)+4T _{8,0}(a,b) \ge 3T _{4,4}(a,b)+4T _{6,2}(a,b) = P}\)
Oczywiście nie dowodziłem tego, to szczególny przypadek ogólniejszej nierówności, mianowicie nierówności między średnimi potęgowymi, przy czym zasugerowałem tutaj \(\displaystyle{ a, b > 0}\)(można było położyć \(\displaystyle{ a = \sin^{2} x, b = \cos^{2} x}\), żeby pozbyć się warunku .)
Oczywiście ta ostatnia nierówność jest oczywista, jedynka trygonometryczna.