\(\displaystyle{ \ (4\cos^{2}\frac{\pi}{n} - 1)\sum_{m=1}^{k}\sin^{3}\ (2m-1)\frac{\pi}{n}=\ (3\cos^{2}\frac{\pi}{n} - 1)\sum_{m=1}^{k}\sin\ (2m-1)\frac{\pi}{n}}\)
Należy pokazać, że równość zachodzi dla n=const=4k oraz kcC
CIEKAWA SUMA-DOWÓD
-
palazi
- Użytkownik
- Posty: 175
- Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łapy/Białystok
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 37 razy
CIEKAWA SUMA-DOWÓD
Wszystko sprowadza się do pokazania, że:
\(\displaystyle{ (4 cos^2(\frac{\pi}{n}) -1) \cdot \sum_{m=1}^{k} sin((2m-1) \cdot 3x) = \sum_{m=1}^{k} sin((2m-1) \cdot x)}\) Gdzie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{n}}\)
I tak sobie teraz myśle że żeby tak teraz policzyc obie te sumy z prawej i z lewej strony za pomocą zespolaków to i powinno wyjść, ale nie chce mi się liczyć to poszukam czegoś szybszego
[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 11:07 ]
Odświeżam temat --> Ok, jeżeli kogoś to interesuje, to wczoraj to sobie przeliczyłem... tak, liczyłem w zespolonych i dla warunku \(\displaystyle{ n = 4k}\) tam część naweł się upraszcza i ostatacznie wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{k} sin( (2m-1) x ) = \frac{1}{2sin(x)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{k} sin( (2m-1) 3x ) = \frac{1}{2sin(3x)}}\)
dla \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{n}}\)
Wiec podstawiając do tego co masz udowodnić, okazuje sie że masz do udowodnienia, że:
\(\displaystyle{ (4cos^2 (x) - 1) \frac{1}{2sin(3x)} = \frac{1}{2sin(x)}}\)
A to już jest banalne, wystarczy skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ sin(3x)}\) i zauważyć, że \(\displaystyle{ 4cos^2 (x) - 1 = 4(1 - sin^2 (x) ) - 1 = 3 - 4sin^2(x) = \frac{ 3 sin(x) - 4sin^3(x) }{sin(x)} = \frac{sin(3x)}{sin(x)}}\) i już.
\(\displaystyle{ (4 cos^2(\frac{\pi}{n}) -1) \cdot \sum_{m=1}^{k} sin((2m-1) \cdot 3x) = \sum_{m=1}^{k} sin((2m-1) \cdot x)}\) Gdzie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{n}}\)
I tak sobie teraz myśle że żeby tak teraz policzyc obie te sumy z prawej i z lewej strony za pomocą zespolaków to i powinno wyjść, ale nie chce mi się liczyć to poszukam czegoś szybszego
[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 11:07 ]
Odświeżam temat --> Ok, jeżeli kogoś to interesuje, to wczoraj to sobie przeliczyłem... tak, liczyłem w zespolonych i dla warunku \(\displaystyle{ n = 4k}\) tam część naweł się upraszcza i ostatacznie wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{k} sin( (2m-1) x ) = \frac{1}{2sin(x)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{k} sin( (2m-1) 3x ) = \frac{1}{2sin(3x)}}\)
dla \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{n}}\)
Wiec podstawiając do tego co masz udowodnić, okazuje sie że masz do udowodnienia, że:
\(\displaystyle{ (4cos^2 (x) - 1) \frac{1}{2sin(3x)} = \frac{1}{2sin(x)}}\)
A to już jest banalne, wystarczy skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ sin(3x)}\) i zauważyć, że \(\displaystyle{ 4cos^2 (x) - 1 = 4(1 - sin^2 (x) ) - 1 = 3 - 4sin^2(x) = \frac{ 3 sin(x) - 4sin^3(x) }{sin(x)} = \frac{sin(3x)}{sin(x)}}\) i już.