Założenia przy rozwiązywaniu tożsamości trygonometrycznych

[favorite01997]

Witam!
Zastanawiam się jak zapisać założenie dla tego przykładu, a właściwie pierwszego ułamka:

\(\displaystyle{ \frac{\sin 2 \alpha }{1+\cos 2 \alpha } \cdot \frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha } = \tg \frac{ \alpha }{2}}\)

Czy takie będzie poprawne(wystarczające), czy należy to jeszcze rozpisać?

\(\displaystyle{ 1+\cos 2 \alpha \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha \neq -1}\)

Dla drugiego ułamka będzie:

\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha \neq -1}\)
\(\displaystyle{ \alpha \neq \pi +2k \pi , k \in C}\)

[SidCom]

możesz najpierw uprościć pierwszy ułamek do \(\displaystyle{ \tg \alpha}\)

[favorite01997]

Czyli będzie wtedy:

\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha + \tg 2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha } =\tg \frac{ \alpha }{2}}\)

i ograniczam się tylko do założenia dla \(\displaystyle{ 1+\cos \alpha}\) tak?

W takim razie jak będą wyglądały założenia dla tego przykładu:
\(\displaystyle{ \frac{1+2\tg \alpha -\tg ^{2} \alpha }{\cos 2 \alpha +\sin 2 \alpha } = \frac{1}{\cos ^{2} \alpha }}\)

[SidCom]

\(\displaystyle{ \frac{\sin 2 \alpha }{1+\cos 2 \alpha }= \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1+\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha}= \tg \alpha}\)

o to mi chodziło...

ps. tu po drodze dzielimy przez \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) więc musimy założyć, \(\displaystyle{ \cos \alpha \ne 0}\)

ale to i tak na końcu wychodzi z dziedziny tangensa...

licząc dalej historia się powtórzy. Weź sobie zmienną \(\displaystyle{ t\equiv \alpha/2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha} =\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}}\) a to już przerobiliśmy wyżej...