Niech sinx + cosx = k. Oblicz:
a) sin2x
b) \(\displaystyle{ sin^3x+cos^3x}\)
c) \(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x}\)
Niech sinx
-
kruszynka18
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 23 kwie 2007, o 18:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: okolice Kielc
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Niech sinx
Ad a:
\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x = 1+ 2 \sin x \cos x -1= \sin^2 x+ \cos^2 x + 2 \sin x \cos x-1=( \sin x+ \cos x)^2 -1=k^2 -1}\)
Ad b:
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x =( \sin x + \cos x)( \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)= k( 1 - \frac{ 2 \sin x \cos x}{2})=k(1 - \frac{k^2 -1}{2})= k \frac{ 3 - k^2 }{2}}\)
Ad c:
\(\displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x = ( \sin^2 x)^2 + 2 \sin^2 x \cos^2 x + ( \cos^4 x) - 2 \sin^2 x \cos^2 x = ( \sin^2 x + \cos^2 x)^2 - \frac{( 2 \sin x \cos x)^2 }{2}= 1 - \frac{ (k^2 -1)^2}{2}= \frac{ 2 - (k^2 -1)^2 }{2}=\frac{ -k^4 +2k+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x = 1+ 2 \sin x \cos x -1= \sin^2 x+ \cos^2 x + 2 \sin x \cos x-1=( \sin x+ \cos x)^2 -1=k^2 -1}\)
Ad b:
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x =( \sin x + \cos x)( \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)= k( 1 - \frac{ 2 \sin x \cos x}{2})=k(1 - \frac{k^2 -1}{2})= k \frac{ 3 - k^2 }{2}}\)
Ad c:
\(\displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x = ( \sin^2 x)^2 + 2 \sin^2 x \cos^2 x + ( \cos^4 x) - 2 \sin^2 x \cos^2 x = ( \sin^2 x + \cos^2 x)^2 - \frac{( 2 \sin x \cos x)^2 }{2}= 1 - \frac{ (k^2 -1)^2}{2}= \frac{ 2 - (k^2 -1)^2 }{2}=\frac{ -k^4 +2k+1}{2}}\)
