Suma sinusa i cosinusa

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 18:35

Witam.
Mam rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 0}\) Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak rozwiązać to równanie? Póki co to próbowałem wykorzystać w jakiś sposób jedynkę trygonometryczną i podniosłem obie strony do kwadratu - po podniesieniu wygląda to tak \(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \cos ^{2}x + 2\sin x\cos x = 0}\) No i w tym miejscu utknąłem. Zauważyłem tam jedną (a w zasadzie dwie) tożsamości - "jedynkę" i sinus podwójnego kąta. Nie wiem co mi da zamienienie tego na sinus podwójnego kąta, nic mi do głowy nie przychodzi. Macie może jakieś sztuczki jak rozwiązywać równania trygonometryczne?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 sty 2015, o 18:40

Użyj tego wzoru na sinus podwojonego kąta i przerzuć tę \(\displaystyle{ -1}\) na drugą stronę. Następnie zastanów się, dla jakich kątów \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ \sin 2x=-1}\).

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 18:57

A mógłbyś mi podpowiedzieć jak to sprawdzić na wykresie albo jak to obliczyć dla \(\displaystyle{ \sin 2x}\)? Dla \(\displaystyle{ \sin x}\) to łatwo sprawdzić. Funkcja \(\displaystyle{ \sin 2x}\) jest trochę "gęściejsza".

SidCom · Post autor: **SidCom** » 8 sty 2015, o 19:01

weź sobie zmienną \(\displaystyle{ t=2x}\) i spójrz na wykres "normalnego" sinusa. Dla jakich \(\displaystyle{ t}\) jest \(\displaystyle{ \sin t = -1}\). Potem wrócisz do zmiennej \(\displaystyle{ x}\)

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 20:24

Nie za bardzo zrozumiałem, mógłbyś mi inaczej to wytłumaczyć? \(\displaystyle{ \sin t = -1 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \pi \pm 2k \pi}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 sty 2015, o 20:29

waxta pisze:\(\displaystyle{ sint = -1 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \pi}\)

To niestety jest bzdura, a konkretnie bzdurą jest implikacja w prawo. Sinus jest funkcją okresową.

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 20:31

poprawiłem

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 sty 2015, o 20:34

Dobrze. No to jak masz \(\displaystyle{ t=2x}\), to wystarczy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), by "wydobyć" \(\displaystyle{ x}\).

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 20:50

rzeczywiście, czemu sam na to nie wpadłem czyli odpowiedzą jest \(\displaystyle{ x = \frac{3}{4} \pi \pm 2k \pi}\) czy okres też dzielę przez 2? \(\displaystyle{ \pm k \pi}\) ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 sty 2015, o 21:13

Bez jedynki jest od razu.

Sprawdzić czy gra dla zerowego sinusa (a nie gra); podzielić stronami przez sinusa, kończyć.

waxta · Post autor: **waxta** » 8 sty 2015, o 22:02

Zrób to krok po kroku tak jak to Ty byś zrobił

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 9 sty 2015, o 15:25

Można to też zapiać jako
\(\displaystyle{ \sin x + \sin(90- x) = 0}\)
i skorzystać ze wzoru na sumę sinusów, od razu jest postać iloczynowa.

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 9 sty 2015, o 15:34

Ja bym proponował to co napisała Ania221 lub też podejście graficzne.

Ponieważ w waszym sposobie (podnoszenie do kwadratu) nie ma przejścia równoważnego i trzeba później sprawdzać wyniki podstawieniem.