Wykazać nierówność

[Chewbacca97]

Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ 0<x<1}\) , to: \(\displaystyle{ \tg^{2} x > \tg x^{2}}\).

Rozważam funkcję \(\displaystyle{ g}\) określoną wzorem:
\(\displaystyle{ g\left( x\right) = \tg^{2} x - \tg x^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(0 ; \frac{\pi}{2} \right)}\)
Teraz staram się wykazać, że przyjmuje ona wartości dodatnie w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0 ; 1\right)}\). Do tego liczę jej pochodną:
\(\displaystyle{ g '\left( x\right) = \frac{2 \tg x}{\cos^{2}x} - \frac{2x}{\cos^{2} x^{2}}}\)

I co teraz?

[GluEEE]

Sprawdź, czy nierówność działa dla \(\displaystyle{ 0}\). Wychodzi \(\displaystyle{ 0>0}\), więc średniawo.

Potem próbowałbym wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{2\tg{x}}{\cos^2{x}}> \frac{2x}{\cos^2{x^2}}}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1\right)}\)

[miodzio1988]

Sprawdź, czy nierówność działa dla \(\displaystyle{ 0}\). Wychodzi \(\displaystyle{ 0>0}\), więc średniawo.

Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ 0<x<1}\) , to: \(\displaystyle{ \tg^{2} x > \tg x^{2}.}\)

więc o co chodzi?

[GluEEE]

Rozpatrujemy przedział. Chodzi o to, że to, co napisałem później nie miałoby sensu, gdyby rozpatrzeć nierówność \(\displaystyle{ f(x)>g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1\right)}\), gdyby np. dla \(\displaystyle{ 0}\) wyszło \(\displaystyle{ 1>0}\), a dla \(\displaystyle{ 1}\) wyszło \(\displaystyle{ 0>0}\), bo wtedy pochodna funkcji \(\displaystyle{ h(x)=f(x)-g(x)}\) byłaby ujemna.
Mogę się oczywiście mylić.

[sebnorth]

ja to widzę tak:

\(\displaystyle{ g\left( x\right) = \tg^{2} x - \tg x^{2}}\)

\(\displaystyle{ g(0) = 0}\), wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ g'(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\) wówczas \(\displaystyle{ g}\) rośnie i \(\displaystyle{ g(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\).

na tym forum dowodzono kiedyś: dla \(\displaystyle{ x \in (0;\frac{\pi}{2})}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin x < x < \tan x}\).

Nam wystarczy z tego \(\displaystyle{ x < \tan x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\).

\(\displaystyle{ 2x < 2\tan x \; (\ast)}\)

ponadto: \(\displaystyle{ x > x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)

\(\displaystyle{ 0 < \cos x < \cos x^2 < 1}\) (cosinus malejący)

\(\displaystyle{ 0 < \cos^2 x < \cos^2 x^2 < 1}\) (kwadrat rosnący)

\(\displaystyle{ 0< \frac{1}{\cos^2 x^2} < \frac{1}{\cos^2 x}}\) (odwrotność malejąca)

razem z \(\displaystyle{ (\ast)}\) dostajemy \(\displaystyle{ \frac{2\tg{x}}{\cos^2{x}}> \frac{2x}{\cos^2{x^2}}}\)

[Dilectus]

Wystarczy pokazać, że w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \ 1\right)}\) mamy \(\displaystyle{ g'(x)>0}\).
Oznacza to, że w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ g\left( x\right) = \tg^{2} x - \tg x^{2}}\) jest rosnąca, a więc rosnąca jest różnica \(\displaystyle{ \tg^{2} x - \tg x^{2}}\). Wystarczy więc stwierdzić, że \(\displaystyle{ g(0)=0}\), a dalej staje się coraz większa. Oznacza to, że w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \ 1\right)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \tg x^{2}}\) wolniej rośnie niż funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\tg^{2} x}\), czyli nierówność jest prawdziwa.