Ilość rozwiązań równania trygonometrycznego

[Yksisarvinen]

Witam. Z góry chciałbym zaznaczyć, że nie chcę gotowej odpowiedzi, a jedynie sprawdzenia, czy mój tok rozumowania jest poprawny i czy wszystko się zgadza

Zadanie:
Równanie \(\displaystyle{ 2 \cdot \sin x \cdot \cos x= \sqrt{2} +\tg ^{2} x}\):
a) ma dokładnie jedno rozwiązanie
b) ma nieskończenie wiele rozwiązań
c) ma co najmniej jedno rozwiązanie
d) nie ma rozwiązań.

Według mnie odpowiedź to d, ponieważ
\(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x=\sqrt2 + \tg ^2x\\
\sin \left( 2x \right) =\sqrt2 + \tg ^2x\\
ZW _{\sin \left( 2x \right) } =\left\langle -1,1 \right\rangle\\
\begin{cases} \sqrt2 + \tg ^2x \ge -1 \\ \sqrt2 + \tg ^2x \le 1 \end{cases} \\
\begin{cases} \tg ^2x \ge -1-\sqrt2 \\ \tg ^2x \le 1 - \sqrt2 \end{cases}\\
\begin{cases} x \in R \\ x \in \o \end{cases}}\)
Czy jest to poprawnie?

[ZF+GCH]

Poprawnie