Dla jakich kątów spełniona jest nierówność?

[merykin]

Dla jakich kątów \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0,2 \pi\right\rangle}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ 2^{ \sin ^{2}x }+ 2^{ \cos ^{2}x } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \le 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }}\)
Proszę o podpowiedź jak zacząć.

[Snayk]

\(\displaystyle{ t=2^{\sin^2 x}}\)

[merykin]

Do tego doszedłem - wychodzi
\(\displaystyle{ t^{2} -( 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} })\cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} } \le 0}\)
czy może ktoś pomóc uprościć pierwiastki? Bo tak samo jak delta wychodzą złożone, a muszą być (tak myślę) jako 2 do jakiejś potęgi.

[Dilectus]

Do tego doszedłem - wychodzi
\(\displaystyle{ t^{2} -( 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} })\cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} } \le 0}\)

Niezupełnie. W rzeczywistości jest tak:

\(\displaystyle{ \frac{t^{2} -\left( 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }\right) \cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} }}{t} \le 0}\)

Pomnóżmy obie strony przez kwadrat mianownika

\(\displaystyle{ \left( {t^{2} -\left( 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }\right) \cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} }}\right) \cdot t \le 0}\)

Popatrzmy, ile to jest \(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }}\)

\(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }=2^{ \frac{1}{2} }\left( 1+2\right)=3 \sqrt{2}}\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ \left( {t^{2} -3 \sqrt{2} \cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} }}\right) \cdot t \le 0}\)

Teraz rozłóżmy ten trójmian

\(\displaystyle{ t^{2} -3 \sqrt{2} \cdot t+ 2^{ \frac{5}{4}}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 18-2^22^{ \frac{5}4} }=18-2^{ \frac{13}{4} }=18-8 \sqrt{2}>0}\)




-- 15 gru 2014, o 23:15 --

\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{18-8 \sqrt{2} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ t _{2}= \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{18-8 \sqrt{2} } }{2}}\)

Wróćmy do nierówności:

\(\displaystyle{ \left( {t^{2} -3 \sqrt{2} \cdot t+ 2^{ \frac{5}{4} }}\right) \cdot t \le 0}\)

\(\displaystyle{ t \left( t-\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{18-8 \sqrt{2} } }{2}\right) \left( t-\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{18-8 \sqrt{2} } }{2}\right) \le 0}\)

Teraz wężykiem...



-- 15 gru 2014, o 23:25 --

Jak rozwiążesz nierówność, wróć do starej zmiennej i dokończ zadanie.

Pamiętaj, że jeśli

\(\displaystyle{ t=2^{\sin^2 x}}}\)

to

\(\displaystyle{ 1 \le t \le 2}\)

[merykin]

Popatrzmy, ile to jest \(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }}\)

\(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{2} }+ 2^{ \frac{3}{4} }=2^{ \frac{1}{2} }\left( 1+2\right)=3 \sqrt{2}}\)

słusznie zwróciłeś uwagę, że inaczej będzie wyglądała nierówność, ale pomyliłeś się w tym powyżej. Byłoby dobrze dla \(\displaystyle{ 2^{ \frac{3}{2} }}\) więc trik niestety nie jest dobry, a delta nadal jest paskudna.

Ma ktoś jakiś inny pomysł?

[Dilectus]

Pokaż mi, gdzie się pomyliłem, tj. co to jest "w tym powyżej"?

[Medea 2]

\(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} (1 + 2^{\frac{1}{4}})}\) powinno być, więc masz źle.

Jeżeli będą chętni, to przepiszę rachunki, ale wyszło mi, że trójmian ma dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8}}\) (to są wartości \(\displaystyle{ t}\)).

[Dilectus]

Masz rację, Medeo, rąbnąłem się...

[merykin]

Ja jestem chętny i będę wdzięczny za pomoc. Samo wyznaczenie pierwiastków poproszę.
Dilectus miałem na myśli to w cytacie- może faktycznie mało precyzyjnie się wyraziłem.

-- 16 gru 2014, o 13:30 --

Ok już nie trzeba - w delcie dwa składniki się redukcją i można zapisać deltę jako skrócone mnożenie. Dzięki za pomoc.
Zamykam temat.