Nierówność trygnometryczna

[Dario1]

Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \tg \alpha }{\cos \alpha + \ctg \alpha } \ge 0}\) dla tych \(\displaystyle{ \alpha}\) , dla których lewa strona nierówności jest określona.

[miodzio1988]

tangens i cotangens zapisujesz z definicji i do wspolnego mianownika sprowadzasz

[Dario1]

A co to da? Doszedłem do tego, że:

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\tg \alpha }{\cos \alpha +\ctg \alpha }= \frac{ \frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha } }{ \frac{\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha } }=\tg \alpha \frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha }}\)

I co dalej?

[Premislav]

Z tego:

\(\displaystyle{ \tg \alpha \frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha }}\)

wyłącz przed nawias w liczniku ułamka stojącego przy tangensie \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), w mianowniku \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), a następnie skorzystaj ze znajomości zbioru wartości funkcji sinus i cosinus. No i ten \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\) zamień na tangens.

[Dario1]

No ta. Czyli doszedłem do postaci:

\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha \frac{\cos \alpha +1}{\sin \alpha +1} \ge 0}\)

I z tego widać, że tangens kwadrat zawsze dodatni, a zarówno sinus i kosinus muszą być większe równe jeden i ponadto z założenia zadania wiadomo, że alfa ma być różne od wielokrotności pi i wielokrotni pi plus pi drugich, zatem zarówno cos alfa jak i sinus alfa mają być większe od -1. Czyli ten ułamek jest zawsze dodatni czyli podana nierówność zachodzi. Dobrze mówię?

[Ania221]

\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha \frac{\cos \alpha +1}{\sin \alpha +1} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha +1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha +1 \ge 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\), nie trzeba tu żadnych założeń

[Dario1]

No tak ,ale \(\displaystyle{ \sin \alpha +1}\) jest w mianowniku, zatem musi być różny od zera dlatego dałem założenie, że \(\displaystyle{ \sin \alpha +1 > 0}\).

[Ania221]

No tak ,ale \(\displaystyle{ \sin \alpha +1}\) jest w mianowniku, zatem musi być różny od zera dlatego dałem założenie, że \(\displaystyle{ \sin \alpha +1 > 0}\).

To wynika z dziedziny, a nie z założeń w zadaniu. Akurat w tym przykładzie dziedzina nie ma wpływu na udowodnienie nierówności.