Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
pona-91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 maja 2014, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Oleśnica

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: pona-91 »

Witajcie , mam zadanie które sprawia mi problem , kto mi pomoże mi je rozwiązać z wyjaśnieniem ?

muszę obliczyć wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) wiedząc , że \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{3}{5}}\)

Ktoś pomoże?
Ostatnio zmieniony 1 gru 2014, o 19:01 przez pona-91, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: wujomaro »

Najpierw jedynka trogonometryczna, a potem definicja tangensa i cotangensa. + w której ćwiartce znajduje się kąt, więc jakie będą znaki funkcji?
Pozdrawiam!
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: loitzl9006 »

ewentualnie można sobie pomóc rysunkiem:
tryg.png
tryg.png (4.74 KiB) Przejrzano 662 razy
z rysunku wynika, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac34, \ \ \sin\alpha=\frac x4}\)
wylicz sobie z Pitagorasa \(\displaystyle{ x}\), potem mając obliczony \(\displaystyle{ x}\) wstawiasz go do wzoru na sinus.

Tangens i kotangens wyliczasz ze wzorów:

\(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac x3, \ \ \ \ctg\alpha=\frac3x}\)
pona-91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 maja 2014, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Oleśnica

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: pona-91 »

\(\displaystyle{ \sin ^2a + \cos ^2a = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin ^2a = 1 - ( \frac{3}{5} )^2}\)

\(\displaystyle{ \sin ^2a = \frac{25}{25} - \frac9{25} \\
\sin ^2a = \frac{16}{25}}\)


\(\displaystyle{ \sin a =\frac45}\)



\(\displaystyle{ \tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac45 : \frac35 = \frac45 \cdot \frac53 = \frac43}\)

\(\displaystyle{ \ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac35 : \frac45= \frac35 \cdot \frac54 = \frac34}\)

dobrze?
Ostatnio zmieniony 1 gru 2014, o 18:51 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Całe wyrażenia matematyczne zapisuj pomiędzy [latex] a [/latex].
Konradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 20 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: Konradek »

Po pierwsze ustalasz, z jakiego zakresu jest kąt. W podanym przykładzie \(\displaystyle{ \cos \alpha >0}\), zatem \(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{1}{2} \pi)\cup ( \frac{3}{2} \pi, 2\pi)}\).
Oczywiście w Twoim zadaniu dane jest, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry, zatem musisz wyznaczyć odpowiedni iloczyn przedziałów, ale nie zawsze będzie tak łatwo.
Funkcję sinus policzysz z jedynki trygonometrycznej (\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos^2 \alpha =?}\))
Funkcje tangens oraz kotangens znając sinus oraz kosinus danego kąta policzysz bez problemu.
Pamiętaj o rozpatrzeniu dwóch przypadków (jeżeli nie jest narzucone żadne ograniczenie), ponieważ na przykład funkcja sinus dla twojego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie przyjmować inne wartości w \(\displaystyle{ I}\) i \(\displaystyle{ IV}\) ćwiartce układu współrzędnych.

Podane rozwiązanie nie jest do końca poprawne, ponieważ nie zachodzi \(\displaystyle{ \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}}\).
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: loitzl9006 »

To ile ten \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) był równy ? \(\displaystyle{ \frac34}\) czy \(\displaystyle{ \frac35}\) ??
pona-91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 maja 2014, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Oleśnica

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: pona-91 »

Konradek a coś wogóle jest dobrze w moim rozwiązaniu ?mógłbyś rozwiązać to po swojemu tak jak być powinno? męczę się z tym trochę a nadal nie rozumiem ...;/ aha błąd bo \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)
Konradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 20 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: Konradek »

Generalnie jest OK, ale
\(\displaystyle{ a^2=b}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{b} \vee a= -\sqrt{b}}\)*
Teraz konfrontujesz z dziedziną, którą w Twoim przypadku jest \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2}\pi)}\), bo w warunkach zadania \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym.
*Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ b \ge 0}\). Inaczej równanie jest sprzeczne.
pona-91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 maja 2014, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Oleśnica

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: pona-91 »

Generalnie jest ok, czyli czego tam brakuje ? ktoś wyprowadzi mi to na gotowo jak być powinno? Proszę o pomoc...
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: loitzl9006 »

Jak dla mnie to twoje rozwiązanie jest w pełni poprawne i niczego nie brakuje
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: piasek101 »

Masz ok (jeśli było 0,6 w zadaniu).
Konradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 20 razy

Wyjaśnienie rozwiązania równania trygonometrycznego

Post autor: Konradek »

Wynik jest w porządku, ale chodzi mi o to, że w rozwiązaniu skorzystałeś z równoważności:
\(\displaystyle{ \sin ^2 \alpha = \frac{16}{25} \Leftrightarrow \sin \alpha =\frac{4}{5}}\),
która nie jest prawdziwa, ponieważ:
\(\displaystyle{ \sin ^2 \alpha = \frac{16}{25} \Leftrightarrow \sin \alpha =\frac{4}{5} \vee \sin \alpha =-\frac{4}{5}}\).
ODPOWIEDZ