Wyznaczanie zbioru wartości funkcji trygonometrycznych

[_Taboo_]

Cześć!
Czy ktoś z was mógłby mnie poinstruować jak określić zbiór wartości takich oto dwóch funkcji?
\(\displaystyle{ f(x)= \cos^{2}x+ \sin x}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \cos 2x- \cos x}\)

[bartek118]

W pierwszym zamieć \(\displaystyle{ \cos}\) na \(\displaystyle{ \sin}\) używając jedynki trygonometrycznej, a następnie rozpatrz jako funkcję kwadratową.

W drugim, albo zastosuj wzór na cosinus podwojonego kąta, albo spróbuj wzorem na różnicę cosinusów (ale tu nie jestem pewien, czy wyjdzie to co trzeba)

[_Taboo_]

dobra, więc jeśli chodzi o pierwsze to:

\(\displaystyle{ f(x)=1 - \sin^{2}x+ \sin x}\)

czyli:
\(\displaystyle{ f(x)= \sin^{2}x - \sin x - 1}\) (tak? nie jestem pewien tego kroku)

co można z tym dalej zrobić? jakiś wzór skróconego mnożenia?

[Zahion]

Nie przypomina Ci to równania kwadratowego ?
Podstaw \(\displaystyle{ t = \sin x}\). Zauważ tylko, że \(\displaystyle{ -1\le t \le 1}\).

[_Taboo_]

jasne że przypomina ale nie wiem co z tym zrobić. podstawiłem.
wiem że teoretycznie można wyliczyć deltę i miejsca zerowe i zapisać w postaci iloczynowej ale chodzi mi o inny, krótszy sposob

[bartek118]

Jak chcesz określić zbiór wartości, to przede wszystkim:
\(\displaystyle{ f(x)=- \sin^{2}x+ \sin x + 1}\)
a nie
\(\displaystyle{ f(x)= \sin^{2}x - \sin x - 1}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t = \sin^2 x}\) i narysuj wykres otrzymanej funkcji zmiennej \(\displaystyle{ t}\) na odcinku \(\displaystyle{ [-1, 1]}\), z niego przeczytasz odpowiedź.

[_Taboo_]

w pierwszym wyszło

\(\displaystyle{ t^{2}-t-1}\)

a w drugim:

\(\displaystyle{ 2t^{2} - t -1}\)

w obu przypadkach nie wiem co z tym zrobić

//ok już liczę i powiem co wyszło
chociaż nie lepiej zapisać to w postaci jakiegoś wzoru skróconego mnożenia i przyrównać do -1 i 1?

[p2310]

a)
\(\displaystyle{ f(x)=\cos^{2}x+ \ sinx=1-\sin^{2}x + \ sinx=-\sin^{2}+ \ sinx+1}\)

\(\displaystyle{ \ sinx=t}\)

\(\displaystyle{ t \in <-1;1>}\)

\(\displaystyle{ f(t)=-t^{2}+t+1}\)

\(\displaystyle{ f(-1)=-(-1)^{2}+(-1)+1=-1}\)
\(\displaystyle{ f(1)=-(1)^{2}+1+1=1}\)

wierzchołek paraboli

\(\displaystyle{ X_{w}= \frac{-b}{2a}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2})= \frac{5}{4}}\)

zatem
ZW \(\displaystyle{ -1 \le y \le \frac{5}{4}}\)-- 27 lis 2014, o 21:26 --b)
analogicznie
ZW \(\displaystyle{ - \frac{9}{8} \le y \le 2}\)