Wykazać, że funkcja jest symetryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Wykazać, że funkcja jest symetryczna względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)
\(\displaystyle{ x=(\cos t)^3\\
y=(\sin t)^3}\)
Jak to zrobić? Od czego to zależy?
\(\displaystyle{ x=(\cos t)^3\\
y=(\sin t)^3}\)
Jak to zrobić? Od czego to zależy?
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Skoro jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, to jest nieparzysta. Zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ f(x)=-f(-x)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
AndrzejK pisze:Skoro jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, to jest nieparzysta. Zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ f(x)=-f(-x)}\).
Ale jak ten wzór zastosować do postaci parametrycznej?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
No nie, to nie jest funkcja postaci \(\displaystyle{ y=f(x)}\).
Zadanie można rozumiec na dwa sposoby: albo tak: pokazać, że \(\displaystyle{ (x(-t),y(-t))=-(x(t),y(t))}\), albo, że krzywa dana takim równaniem parametrycznym jest symetryczna względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), innymi słowy jeżeli \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, to \(\displaystyle{ (-x,-y)}\) też.
W tym akurat przypadku oba te warunki sa równoważne, ale przy innej parametryzacji już nie.
Odszczekuje: tutaj te warunki nie sa równoważne.
Zadanie można rozumiec na dwa sposoby: albo tak: pokazać, że \(\displaystyle{ (x(-t),y(-t))=-(x(t),y(t))}\), albo, że krzywa dana takim równaniem parametrycznym jest symetryczna względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), innymi słowy jeżeli \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, to \(\displaystyle{ (-x,-y)}\) też.
W tym akurat przypadku oba te warunki sa równoważne, ale przy innej parametryzacji już nie.
Odszczekuje: tutaj te warunki nie sa równoważne.
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 22:19 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Ok z sinusem nie ma problemu wyciągne - z \(\displaystyle{ \sin (-t)}\) przec funkcję ale co z cosinusem?
\(\displaystyle{ -(\cos t)^3=(\cos (-t))^3 ?}\)
\(\displaystyle{ -(\cos t)^3=(\cos (-t))^3 ?}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
To jak tym drugim sposobem to wykazać?
\(\displaystyle{ (\cos t)^3=-(\cos t)^3}\)
I co dalej?[ Z sinusem podobny problem)
\(\displaystyle{ (\cos t)^3=-(\cos t)^3}\)
I co dalej?[ Z sinusem podobny problem)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Nie wykażesz, bo to nieprawda.
Punkt jeżeli punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, i odpowiada chwili \(\displaystyle{ t}\), to punkt \(\displaystyle{ -(x,y)=(-x,-y}\) też leży na krzywej i jest realizowany w punkcie \(\displaystyle{ t+\pi}\), bo \(\displaystyle{ cos(t+\pi)=-\cos(t)}\) i \(\displaystyle{ \sin(x+\pi)=-\sin(t)}\).
edit. dopisałem oczywisty minus w ostatniej równości
Punkt jeżeli punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, i odpowiada chwili \(\displaystyle{ t}\), to punkt \(\displaystyle{ -(x,y)=(-x,-y}\) też leży na krzywej i jest realizowany w punkcie \(\displaystyle{ t+\pi}\), bo \(\displaystyle{ cos(t+\pi)=-\cos(t)}\) i \(\displaystyle{ \sin(x+\pi)=-\sin(t)}\).
edit. dopisałem oczywisty minus w ostatniej równości
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 22:52 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
A skąd wiem, że \(\displaystyle{ \cos (t+\pi), \sin (t+\pi)}\) leżą na krzywej?
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Ten punkt nie leży, ale leży punkt \(\displaystyle{ (\cos ^3(t+\pi), \sin ^3(t+\pi))}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Wykazać, że funkcja jest symetryczna
Bo taka jest definicja krzywej;
Ta krzywa to zbiór punktów postaci \(\displaystyle{ (\cos^t,\sin^3 t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\RR}\). Skoro \(\displaystyle{ t}\) jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ t+\pi}\) też.
Popatrz na to tak: wyobraż sobie parametr \(\displaystyle{ t}\) jako czas. Poruszasz się po płaszczyżnie tak, że w chwilo \(\displaystyle{ t}\) jestes w punkcie \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\). Zalezności mówią, że jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t}\) będziesz w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\) to w chcwili \(\displaystyle{ t+\pi}\) będziesz w \(\displaystyle{ (-x,-y)}\).
Ta krzywa to zbiór punktów postaci \(\displaystyle{ (\cos^t,\sin^3 t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\RR}\). Skoro \(\displaystyle{ t}\) jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ t+\pi}\) też.
Popatrz na to tak: wyobraż sobie parametr \(\displaystyle{ t}\) jako czas. Poruszasz się po płaszczyżnie tak, że w chwilo \(\displaystyle{ t}\) jestes w punkcie \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\). Zalezności mówią, że jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t}\) będziesz w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\) to w chcwili \(\displaystyle{ t+\pi}\) będziesz w \(\displaystyle{ (-x,-y)}\).