Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

Wykazać, że funkcja jest symetryczna względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)

\(\displaystyle{ x=(\cos t)^3\\
y=(\sin t)^3}\)


Jak to zrobić? Od czego to zależy?
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: AndrzejK »

Skoro jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, to jest nieparzysta. Zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ f(x)=-f(-x)}\).
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

AndrzejK pisze:Skoro jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, to jest nieparzysta. Zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ f(x)=-f(-x)}\).

Ale jak ten wzór zastosować do postaci parametrycznej?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

No nie, to nie jest funkcja postaci \(\displaystyle{ y=f(x)}\).

Zadanie można rozumiec na dwa sposoby: albo tak: pokazać, że \(\displaystyle{ (x(-t),y(-t))=-(x(t),y(t))}\), albo, że krzywa dana takim równaniem parametrycznym jest symetryczna względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), innymi słowy jeżeli \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, to \(\displaystyle{ (-x,-y)}\) też.

W tym akurat przypadku oba te warunki sa równoważne, ale przy innej parametryzacji już nie.

Odszczekuje: tutaj te warunki nie sa równoważne.
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 22:19 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

Ok z sinusem nie ma problemu wyciągne - z \(\displaystyle{ \sin (-t)}\) przec funkcję ale co z cosinusem?

\(\displaystyle{ -(\cos t)^3=(\cos (-t))^3 ?}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

Nie, taka równośc nie zachodzi
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

No ale ta funkcja jest symetryczne wzgędem obu osi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

Krzywa jest symetryczna, funkcja nie jest.
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

To jak tym drugim sposobem to wykazać?

\(\displaystyle{ (\cos t)^3=-(\cos t)^3}\)

I co dalej?[ Z sinusem podobny problem)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

Nie wykażesz, bo to nieprawda.

Punkt jeżeli punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) leży na krzywej, i odpowiada chwili \(\displaystyle{ t}\), to punkt \(\displaystyle{ -(x,y)=(-x,-y}\) też leży na krzywej i jest realizowany w punkcie \(\displaystyle{ t+\pi}\), bo \(\displaystyle{ cos(t+\pi)=-\cos(t)}\) i \(\displaystyle{ \sin(x+\pi)=-\sin(t)}\).

edit. dopisałem oczywisty minus w ostatniej równości
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 22:52 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

A skąd wiem, że \(\displaystyle{ \cos (t+\pi), \sin (t+\pi)}\) leżą na krzywej?
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

Ten punkt nie leży, ale leży punkt \(\displaystyle{ (\cos ^3(t+\pi), \sin ^3(t+\pi))}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2014, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
ja99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 8 gru 2013, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: ja99 »

No o ten punkt chodzi co napisałeś ale właśnie skąd wiem, że on leży na tej krzywej?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że funkcja jest symetryczna

Post autor: a4karo »

Bo taka jest definicja krzywej;
Ta krzywa to zbiór punktów postaci \(\displaystyle{ (\cos^t,\sin^3 t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\RR}\). Skoro \(\displaystyle{ t}\) jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ t+\pi}\) też.


Popatrz na to tak: wyobraż sobie parametr \(\displaystyle{ t}\) jako czas. Poruszasz się po płaszczyżnie tak, że w chwilo \(\displaystyle{ t}\) jestes w punkcie \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\). Zalezności mówią, że jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t}\) będziesz w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\) to w chcwili \(\displaystyle{ t+\pi}\) będziesz w \(\displaystyle{ (-x,-y)}\).
ODPOWIEDZ