Udowdonić równość

[Poszukujaca]

Jak udowodnić taką równość?

\(\displaystyle{ \arc \cos \sqrt{1-x^{2}}=\arc \sin x}\)

[a4karo]

Najpierw powiedz gdzie ma zachodzić ta równość?

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)

-- 23 lis 2014, o 18:59 --

Na razie doszłam do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \arc \cos \sqrt{1-x^{2}}=y_{1} \Leftrightarrow \cos y_{1}=\sqrt{1-x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \cos y_{1}=\sin \left( \frac{\pi}{2}+y_{1}\right) =\sqrt{1-x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \arc \sin \sqrt{1-x^{2}}= \arc \cos \sqrt{1-x^{2}]-\frac{\pi}{2}}\)

[a4karo]

Standardowe postępowanie w takim przypadku: niech \(\displaystyle{ x=\sin t}\)...

[Poszukujaca]

Mogę oznaczyć \(\displaystyle{ \sin y_{2}=x}\).

Z równości wiemy, że \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}}\).

[musialmi]

Nie wiemy, bo dopiero mamy to udowodnić :p Mamy \(\displaystyle{ \sin y_2 =x, \cos y_1 = \sqrt{1-x^2}}\). Weź to drugie, skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i ło.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ \sin y_{1}=\sqrt{1-(1-x^{2})} = x=\sin y_{2}}\)

I elegancko