Zbiór wartości funkcji trygonometrycznej kwadratowej

[Defozo]

Witam, jak obliczyć zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=3sin ^{2}x-4sinx+1}\) ?

Wiem, że \(\displaystyle{ sinx \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)
Po podstawieniu 1 lub -1 otrzymuję:
\(\displaystyle{ 3*(-1)^{2}-4*(-1)+1=8}\)
lub
\(\displaystyle{ 3*(1)^{2}-4*1+1=0}\)

Natomiast po podstawieniu \(\displaystyle{ t=sinx}\) otrzymuję \(\displaystyle{ t= \frac{1}{3} \vee t=1}\)

Proszę o pomoc,
Defozo

[kerajs]

\(\displaystyle{ f(x)=3(\sin x- \frac{2}{3} )^2- \frac{1}{3}}\)
A z tej postaci umiałbyś określić zbiór wartości?

[a4karo]

Wystarczy że policzysz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

Natomiast po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\sin x}\)otrzymuję \(\displaystyle{ t= \frac{1}{3} \vee t=1}\)

Szukanie pierwiastków nic tutaj nie da.

[p2310]

\(\displaystyle{ f(x)=3\sin^{2}x-4\ sinx+1}\)
\(\displaystyle{ t= \ sinx}\)
\(\displaystyle{ t \in <-1;1>}\)
\(\displaystyle{ f(t)=3t^{2}-4t+1}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=3*(-1)^{2}-4*(-1)+1=8}\)
\(\displaystyle{ f(1)=3*1^{2}-4*1+1=0}\)
i sprawdzamy wierzchołek paraboli czy należy do przedziału <-1;1>
\(\displaystyle{ X_{w}= \frac{4}{2*3}= \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ X_{w} \in <-1;1>}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{2}{3})=3*( \frac{2}{3})^{2}-4* \frac{2}{3} +1=- \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ ZW \in <- \frac{1}{3};8>}\)

[Defozo]

A jaka byłaby dziedzina i zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(x)}}\) ?

[a4karo]

Podsuń sam jakiś pomysł. Jak policzysz dziedzinę, to resztę łatwo wydedukujesz z informacji, które już masz