Dowód na róznowartościowość

[Przybysz]

\(\displaystyle{ y=\arcsin({x-1})+1}\) \(\displaystyle{ x \in <0;2>}\)
Niech \(\displaystyle{ x _{1} \neq x _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x _{1} = f(x _{2}}\)
\(\displaystyle{ \arcsin ({x _{1}-1})+1=\arcsin({x _{2}-1})+1}\)
W tym momencie się blokuję. Nie mogę chyba zrobić, że \(\displaystyle{ x _{1}-1=x _{2}-1}\) bo skorzystam z róznowartosciowosci ktorej mam dowiesc?

[szw1710]

Chyba, że wiesz, że arcus sinus jest różnowartościowy. Ale nie o to chodzi. Skorzystaj z tego, że arcus sinus jest funkcją odwrotną do rosnącego sinusa (dziedzina!!!). Więc jako taki jest też rosnący. Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą, to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) też jest funkcją rosnącą.

Można też powołać się na prostszy argument: arcus sinus jest funkcją odwrotną do rosnącego sinusa, ale funkcja odwrotna oczywiście też jest bijekcją.