sinus z arcus tangensa
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
sinus z arcus tangensa
Ile to jest \(\displaystyle{ \sin \left( \arcctg x\right)}\)? Wolfram mówi, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}\), natomiast wg moich obliczeń możliwe jest też \(\displaystyle{ \frac{-1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}\). Z jakiego powodu powinniśmy odrzucić wynik z minusem?
Ostatnio zmieniony 22 lis 2014, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
sinus z arcus tangensa
No dobrze, ale jaki jest powód odrzucenia tego wyniku? Może przekażę proces, w jakim w ogóle go osiągnąłem...
\(\displaystyle{ \arcctg x = a \\ \ctg a = x \\ \frac{\cos a}{\sin a}=x \\ \frac{\sin a}{\cos a}=\frac 1x \\ \sin a=\frac 1x \cos a \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2} \cos^2 a \\ \sin^2 a=\frac{1-\sin^2 a}{x^2} \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2 a}{x^2} \\ \sin^2 a + \frac{\sin^2 a}{x^2}=\frac{1}{x^2} \\ \sin^2 a \left(1+\frac{1}{x^2}\right)= \frac{1}{x^2} \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2\left( 1+\frac{1}{x^2}\right) } \\ \sin a = \frac{1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \vee \sin a = \frac{-1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}\)
Nie skorzystałem tu ani z nielegalnej dziedziny którejś funkcji cyklometrycznej, ani z dzielenia przez zero...
\(\displaystyle{ \arcctg x = a \\ \ctg a = x \\ \frac{\cos a}{\sin a}=x \\ \frac{\sin a}{\cos a}=\frac 1x \\ \sin a=\frac 1x \cos a \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2} \cos^2 a \\ \sin^2 a=\frac{1-\sin^2 a}{x^2} \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2 a}{x^2} \\ \sin^2 a + \frac{\sin^2 a}{x^2}=\frac{1}{x^2} \\ \sin^2 a \left(1+\frac{1}{x^2}\right)= \frac{1}{x^2} \\ \sin^2 a = \frac{1}{x^2\left( 1+\frac{1}{x^2}\right) } \\ \sin a = \frac{1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \vee \sin a = \frac{-1}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}\)
Nie skorzystałem tu ani z nielegalnej dziedziny którejś funkcji cyklometrycznej, ani z dzielenia przez zero...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22234
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
sinus z arcus tangensa
To prawda, że przekształcenia były legalne, ale były równoważnościami.
w chwili gdy podniosłeś w piątej linijce obie strony do kwadratu, pojawił się potencjalny obcy pierwiastek. Innymi słowy od tego miejsca rozwiązywałeś jednocześnie dwa równania:
\(\displaystyle{ \sin a=\frac 1x \cos a}\) oraz \(\displaystyle{ \sin a=-\frac 1x \cos a}\).
Każde z rozwiązań, które otrzymaleś odpowiada jednemu równaniu
w chwili gdy podniosłeś w piątej linijce obie strony do kwadratu, pojawił się potencjalny obcy pierwiastek. Innymi słowy od tego miejsca rozwiązywałeś jednocześnie dwa równania:
\(\displaystyle{ \sin a=\frac 1x \cos a}\) oraz \(\displaystyle{ \sin a=-\frac 1x \cos a}\).
Każde z rozwiązań, które otrzymaleś odpowiada jednemu równaniu
Ostatnio zmieniony 22 lis 2014, o 20:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.