Zbiór wartości funkcji trygonometrycznej

[asign123]

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania :
Wyznacz zbiór wartości funkcji f o dziedzinie \(\displaystyle{ D = \left\langle 0; 2 \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ 1) f(x) = 2 \cos x - \ \cos 2x}\)
\(\displaystyle{ 2) f(x) = \cos 2x + 5 \ \sin x + 7}\)

Z góry dzięki za udzieloną pomoc pozdrawiam !

[chris_f]

W obu przypadkach skorzystaj ze wzoru
\(\displaystyle{ \cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1}\)
Potem podstaw w pierwszym \(\displaystyle{ \cos x=t}\), w drugim \(\displaystyle{ \sin x=t}\).
Dostaniesz funkcje kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\).
Zadanie sprowadzi się do znalezienia zbioru wartości tych funkcji kwadratowych na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

[kerajs]

1.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2 \cos x - \cos 2x= 2 \cos x - 2\cos ^{2} x+1=-2 \left( \cos x- \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{3}{2}}\)
Funkcja ma największą wartość dla \(\displaystyle{ \cos x= -1}\) a najmniejszą dla \(\displaystyle{ \cos x= \frac{1}{2}}\)


2.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos 2x + 5 \sin x + 7=1-2 \sin^2 x + 5 \sin x + 7=-2 \left( \sin x-\frac{5}{4} \right) ^2+11,125}\)
Funkcja ma największą wartość dla \(\displaystyle{ \sin x= -1}\) a najmniejszą dla \(\displaystyle{ \sin x= 1}\)