Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej

lukaszx95 · Post autor: **lukaszx95** » 14 lis 2014, o 19:23

Jaki jest zbiór wartości podanej funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\arctg \sqrt{1- \frac{1}{x} }}\)
Próbowałem to robić wyznaczając dziedzinę funkcji odwrotnej którą obliczyłem czyli: \(\displaystyle{ f ^{-1}(x)= \frac{1}{1- \tg ^{2} x}}\)
Jednak nie pokrywa się to z wykresem który sobie wygenerowałem

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lis 2014, o 19:28

Może zacznij od dziedziny.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 lis 2014, o 19:35

lukaszx95 pisze: Próbowałem to robić wyznaczając dziedzinę funkcji odwrotnej którą obliczyłem czyli: \(\displaystyle{ f ^{-1}(x)= \frac{1}{1- \tg ^{2} x}}\)

Formalnie odwracając funkcję musisz określić, na jakim przedziale to robisz. Skąd wiesz, którą gałąź tangensa wybrać? Co więcej, szukanie dziedziny funkcji odwrotnej nie ma najmniejszego sensu, gdyż ona jest z góry dana przez zbiór wartości funkcji odwracanej. Zatem... Nie tędy droga. A którędy? Kilka linijek obliczeń bezpośrednio na \(\displaystyle{ f}\).

lukaszx95 · Post autor: **lukaszx95** » 14 lis 2014, o 22:10

A gdyby założyć, że odwracam arcusa do pierwszej gałęzi tangensa. To po wyznaczeniu dziedziny funkcji odwrotnej wychodzi, że \(\displaystyle{ V _{f} =[0; frac{ pi }{2}) setminus left{ frac{ pi }{4}
ight}}\)
Co by się chyba zgadzało

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 15 lis 2014, o 05:06

Podwójna robota. \(\displaystyle{ \arctan x}\) jest przyjrmniejsza funkcją, bo nieokresową.