szybkie sprawdzenie prostego zadanka z równania

[ser-x]

\(\displaystyle{ \sin x^{3} + \cos x^{3} = 1}\)
podnoszę do kwadratu
\(\displaystyle{ (1 + 2\sin x\cos x)(1 - 2\sin x\cos x + \sin x^{2}\cos ^{2}) = 1}\)
po wymnożeniu
\(\displaystyle{ 2\sin x^{3}\cos x^{3} = 3\sin x^{2}\cos x^{2} \\
2\sin x\cos x = 3 \\
\sin 2x = 3}\)
czy zadanie jest zrobione prawidłowo? niestety nie wiem jaki powinien wyjść wynik

[mortan517]

Zadanie nie jest rozwiązane do końca, poza tym po podnoszeniu do kwadratu mogą powstać fałszywe pierwiastki, więc musisz je sprawdzić później.

[ser-x]

to jak to wtedy zrobić?

[mortan517]

Zamień np. cosinusa na sinus przesunięty o odpowiedni kąt i skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów.

[ser-x]

okej a tą jedynkę po prawej zamieniać na jedynkę trygonometryczną czy jej nie tykać?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2k \pi \right) = 1}\)

To się może okazać przydatne.

[Premislav]

Na samym początku trzeba było naparzać z jedynki trygonometrycznej i przerzucić wszystko na prawą stronę, a nie w jakieś kwadraty się bawić. Dostałbyś:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x(1-\sin x)+\cos^{2}x(1-\cos x)=0}\)
a to już kilka prostych przypadków do rozważenia, bo zauważ, że sinus i cosinus są w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i nie mogą być jednocześnie zerami ani jedynkami, czyli albo sinus jest zerem i cosinus jedynką, albo na odwrót. Proste liczenie kątów i koniec.

[ser-x]

doszedłem do momentu gdzie Premislav i utknąłem zamieniając sinusa na cosinusa wychodzą mi jakieś dziwne rzeczy

[mortan517]

Pokaż co ci wychodzi z tej zamiany.