Wartość wyrażenia, największa wartość funkcji

[Narufirefox]

Mam problem z trygonometrią :/ Te zadania są zapewne proste ale prosiłbym o pomoc bo z trygonometrii jestem najsłabszy.

1. Dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) suma \(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin 3 \alpha}\) jest równa.

2. Wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos \frac{13}{12} \pi \cdot \cos \frac{11}{4} \pi + \sin \frac{13}{12} \pi \cdot \sin \frac{11}{4} \pi}\) jest równa.
Zamienić na stopnie i z redukcyjnych ?

3. Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{12}{13}}\), to \(\displaystyle{ \tg \left( 180° + \alpha \right)}\) jest równy.

4. Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\) to wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 9\sin 2 \alpha}\) jest równa.

5. Największa wartość funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + \cos x}\) jest równa.

Proszę się nie śmiać, że takie pewnie proste

[Ania221]

1. wzór na sumę sinusów
3. obliczyć \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) z jedynki i potem \(\displaystyle{ \tg}\). Wartość \(\displaystyle{ \tg}\) powtarza sie co ile stopni? okres.
4.obl \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin{2\alpha}}\)
2. Znajdź odpowiadający wzór na sin lub cos sumy lub różbnicy

5. \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=m}\)
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=m^2}\)
\(\displaystyle{ 1+\sin{2x}=m^2}\)
\(\displaystyle{ 2=m^2}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=m= \sqrt{2}}\)

[AndrzejK]

5. Pochodna.

[kerajs]

2. \(\displaystyle{ \cos\frac{13}{12} \pi \cdot \cos \frac{11}{4} \pi + \sin\frac{13}{12} \pi \cdot \sin\frac{11}{4} \pi=\cos(\frac{13}{12} \pi-\frac{11}{4} \pi) =\cos(\frac{13}{12} \pi-\frac{11}{4} \pi+2 \pi )=\cos \frac{2}{12} \pi =\cos \frac{1}{6} \pi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)


5. \(\displaystyle{ f(x) = \sinx + \cosx= \sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x= \sqrt{2}\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )}\)
Największa wartość funkcji to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

[Narufirefox]

2. \(\displaystyle{ \cos\frac{13}{12} \pi \cdot \cos \frac{11}{4} \pi + \sin\frac{13}{12} \pi \cdot \sin\frac{11}{4} \pi=\cos(\frac{13}{12} \pi-\frac{11}{4} \pi) =\cos(\frac{13}{12} \pi-\frac{11}{4} \pi+2 \pi )=\cos \frac{2}{12} \pi =\cos \frac{1}{6} \pi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Nope \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2=m^2}\) Skąd od razu ta 2 ?
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=m= \sqrt{2}}\)

[Premislav]

Nieprawda,\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{6}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), tak jak napisał kerajs.
Inne rozwiązanie piątego: z nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną jest \(\displaystyle{ \frac{\sin x+\cos x}{2} \le \sqrt{ \frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) , równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) i \(\displaystyle{ \sin x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \cos x \ge 0}\), czyli np. dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) (wystarczy więc przemnożyć stronami przez \(\displaystyle{ 2}\)).

[Narufirefox]

Skoro tak mówicie to prawdopodobnie w odpowiedziach jest błąd.-- 11 lis 2014, o 16:09 --Jest jeszcze jedno zadanie jakby ktoś mógł.

Funkcja \(\displaystyle{ f: \left\langle0;10 \right\rangle \rightarrow R}\) dana jest za pomocą wzoru \(\displaystyle{ f(x) = cos \pi x}\). Suma wszystkich miejsc zerowych tej funkcji jest równa.

[AndrzejK]

kerajs popełnił błąd po prostu. \(\displaystyle{ \frac{13}{12}-\frac{11}{4}+2=\frac{1}{3} \neq \frac{2}{12}}\).

[Premislav]

Do ostatnio zamieszczonego: cosinus zeruje się dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \ZZ}\). Czyli starczy, że policzysz, ile to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{3}{2}+...+ \frac{19}{2}}\), to jest zwykła suma początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego, a ilu, to już sobie policz, to nietrudne.

[Ania221]

\(\displaystyle{ 2=m^2}\) Skąd od razu ta 2 ?
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=m= \sqrt{2}}\)

Wartość max funkcji \(\displaystyle{ 1+\sin{2x}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\)