Wykres funkcji, rozwiązać równanie/nierówność

[El_Konrad]

Witam.

Mam cztery zadania, w zasadzie to trzy, z którymi nie mogę sobie poradzić.

1. Narysuj wykres funkcji.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\left| \tg x\right|\cos ^2x}\)

dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi , k \in \ZZ}\)

1 przypadek
\(\displaystyle{ \tg x \ge 0 \\ f \left( x \right) = \tg x \cdot \cos ^2x= \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos ^2x=\sin x \cdot \cos x}\)

2 przypadek
\(\displaystyle{ \tg x<0 \\
f \left( x \right) =-\tg x \cdot \cos ^2x=-\sin x \cdot \cos x}\)

Problem w tym, że nie potrafię narysować takich wykresów funkcji i nie mam pomysłu, by doprowadzić to do innej postaci.

2. Rozwiązać równanie.

a)
\(\displaystyle{ 2\cos x - 3\sin ^2x = 0}\)

Prosiłbym o sprawdzenie czy ten przykład zrobiłem poprawnie, bo miałem w liceum wspomniane o funkcjach cyklometrycznych [nie mam pojęcia czy poniższe rozwiązanie ma sens, czy można to zapisywać w ten sposób], ale nie zaszkodzi się upewnić, bo jeśli to się okaże źle, to innego pomysłu nie mam jak to rozwiązać.

\(\displaystyle{ 2\cos x - 3 \left( 1-\cos ^2x \right) =0 \\ 3\cos ^2x + 2\cos x - 3=0 \\ \cos x=t, t \in \left\langle -1,1\right\rangle \\ 3t^2 + 2t -3 = 0 \\ t_{1}= \frac{-1- \sqrt{10} }{3} \notin \left\langle -1,1\right\rangle \\ t_{2}= \frac{-1+ \sqrt{10} }{3} \\ \cos x= \frac{-1+ \sqrt{10} }{3} \\ x_{0} = \arccos \left( \frac{-1+ \sqrt{10} }{3} \right) \\ x=\arccos \left( \frac{-1+ \sqrt{10} }{3} \right) + 2k \pi \vee x=-\arccos \left( \frac{-1+ \sqrt{10} }{3} \right) + 2k \pi}\)

b)
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{2} \cdot \cos \left( 5x+ \frac{ \pi }{2} \right) x=2 \\ 3- \sqrt{2} \cdot \left( \cos 5x \cdot \cos \frac{ \pi }{2} - \sin 5x \cdot \sin \frac{ \pi }{2} \right) x=2 \\ \sqrt{2} \cdot x \cdot \sin 5x=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Dalej bez pomysłu...

3. Rozwiązać nierówność.
\(\displaystyle{ \cos x + 2\tg x \le 2 + \sin x , x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi , k \in \ZZ\\ \cos x + \frac{2\sin x}{\cos x} - 2 - \sin x \le 0 \\ \frac{\cos ^2x + 2\sin x - 2\cos x -\sin x \cdot \cos x}{\cos x} \le 0 \\ \frac{ \left( \cos x-2 \right) \left( \cos x-\sin x \right) }{\cos x} \le 0}\)
Bawiłem się trochę z tym przykładem, aby mieć tylko \(\displaystyle{ \sin x}\) albo \(\displaystyle{ \cos x}\) , ale cóż...

[piasek101]

1) Wzór na sinus podwojonego kąta.

[El_Konrad]

1) Faktycznie \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2} \cdot \sin 2x}\) to już jestem w stanie narysować, dzięki.

A na pozostałe ma ktoś pomysł?

[piasek101]

2)a. Wygląda dobrze.

b) ten (x) poza nawiasem psuje sprawę - chyba, że przyjmiesz go jako ciąg dalszy argumentu sinusa.

[El_Konrad]

2. b) Przykład mam napisany w ten sposób
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{2} \cdot \cos \left( 5x+ \frac{ \pi }{2} \right) x=2}\)
Ale jak to interpretować to tego sam nie wiem, czy jest to
\(\displaystyle{ \left( \cos \left( 5x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right) \cdot x}\)
czy
\(\displaystyle{ \cos \left( \left( 5x+ \frac{ \pi }{2} \right) \cdot x \right)}\)
Odruchowo zacząłem to rozwiązywać traktując to jako \(\displaystyle{ \left( \cos \left( 5x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right) \cdot x}\).

Sprawdziłem co się dzieje dla tej drugiej interpretacji, ale również wychodzą mi głupie rzeczy, więc potraktuję ten przykład jako źle podany przez wykładowcę, bo niestety to dosyć częsty przypadek...

Mam jeszcze problem z tą nierównością:
\(\displaystyle{ \cos x + 2\tg x \le 2 + \sin x , x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi , k \in \ZZ\\ \\ \cos x + \frac{2\sin x}{\cos x} - 2 - \sin x \le 0 \\\\ \frac{\cos ^2x + 2\sin x - 2\cos x -\sin x \cdot \cos x}{\cos x} \le 0 \\\\ \frac{ \left( \cos x-2 \right) \left( \cos x-\sin x \right) }{\cos x} \le 0}\)

Doszedłem do tego momentu i nie mogę dalej ruszyć. Jakaś wskazówka?

[piasek101]

Nierówność.

Nie robiłem - jeśli jest taka jak piszesz to przypadki :
1) licznik ujemny, mianownik dodatni itp.