Zbadać, czy podane funkcje są okresowe

[zanrill]

Cześć,
potrzebuję pomocy z zadaniem.

Treść zadania:

Zbadać, czy podane funkcje są okresowe. Jeśli tak, to wyznaczyć ich okres podstawowy.

\(\displaystyle{ a) f(x) = a\cos \left( \lambda x\right) +b\sin (\lambda x)}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a,b,\lambda \in \RR}\)
\(\displaystyle{ b) g(x)=\sin ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ c) h(x)=\sin (x^{2})}\)

Jak w ogóle coś takiego wykazać? Proszę o jakieś wskazówki.

[musialmi]

Trzeba skorzystać z tego, że wiemy, że \(\displaystyle{ \sin x = \sin (x+2k \pi)}\) i to samo z cosinusem.

[zanrill]

No dobrze, ale co dalej? To co napisałeś jest całkiem oczywiste.

a)

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = a\cos \left( \lambda x\right) +b\sin \left( \lambda x \right) = \arccos \left( \lambda x +2k\pi\right) +b\sin \left( \lambda x +2k\pi \right) = a\cos \left( \lambda \left( x+ \frac{2k\pi}{\lambda} \right) \right) +b\sin \left( \lambda \left( x+ \frac{2k\pi}{\lambda} \right) \right) ,k \in \ZZ}\)

Do tego doszliśmy na zajęciach i to był już koniec, nie rozumiem dlaczego i co nam to mówi, możecie wytłumaczyć?

[musialmi]

Pierwszego przejścia nie rozumiesz, czy drugiego? Pierwsze wynika z okresowości, drugie wynika z wyciągnięcia przed nawias. Co nam to mówi? Musisz się uważnie przyjrzeć i zauważyć, że to na końcu to nic innego, jak tylko \(\displaystyle{ f(x+\frac{2k \pi}{\lambda})}\). A co z tego można wywnioskować?

[zanrill]

Pierwszego przejścia nie rozumiesz, czy drugiego? Pierwsze wynika z okresowości, drugie wynika z wyciągnięcia przed nawias. Co nam to mówi? Musisz się uważnie przyjrzeć i zauważyć, że to na końcu to nic innego, jak tylko \(\displaystyle{ f(x+\frac{2k \pi}{\lambda})}\). A co z tego można wywnioskować?

Rozumiem obydwa przejścia oczywiście, chodziło mi o to dlaczego to już koniec.
EDIT: dobra, widzę już a jak będzie w b)?

[musialmi]

\(\displaystyle{ f(x) = a\cos \left( \lambda x\right) +b\sin (\lambda x)}\)

A więc
\(\displaystyle{ f(cokolwiek) = a\cos \left( \lambda \cdot cokolwiek\right) +b\sin (\lambda \cdot cokolwiek)}\). No i za "cokolwiek" można wstawić pewne coś, żeby otrzymać to, co otrzymaliście na zajęciach. Widzisz to? Bardzo dobrze, że jest przemnożony przez lambdę, bo jakby nie był, to nie można by tak napisać

EDIT: W b) będzie podobnie. Rozłóż kwadrat na iloczyn (tylko dla przyzwoitości, wcale nie musisz) i jechane z tym koksem (skorzystaj z okresowości sinusa).

[zanrill]

Mam po prostu napisać, że
\(\displaystyle{ g(x) = \sin ^{2}x = (\sin x) \cdot (\sin x) = (\sin (x+2k\pi))(\sin (x+2k\pi)) = \sin ^{2}(x+2k\pi) = g(x+2k\pi)?}\)

W c) chyba tak łatwo to nie będzie?

[musialmi]

Ale ta myśl jeszcze nie jest dokończona. W c) będzie trudniej, tak.

[zanrill]

Dokończyłem. O to chodziło?
A propos c) teraz: Nie wiem jak, tak samo się nie da tego zrobić.

[musialmi]

Tak, o to chodziło. Teraz możemy powiedzieć, że funkcja jest okresowa i nawet wskazać jej okres.

W c nie da się, bo ta funkcja nie jest okresowa i musimy to pokazać. Proponuję zrobić to nie wprost (jeśli ktoś ma dowód wprost - chętnie zobaczę!). Co założymy? Co to znaczy, że "T jest okresem"?

[zanrill]

No dobra, to załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x^2)}\) jest funkcją okresową, wtedy:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x+T)}\) , czyli:
\(\displaystyle{ \sin(x^2) = \sin(x^2+2xT + T^2)}\)
\(\displaystyle{ 2xT+T^2 = 2k\pi}\)

Licząc z delty wychodzi, że okres jest mniejszy od zera, to można powiedzieć, że dochodzimy do sprzeczności, wobec czego ta funkcja nie jest okresowa?

[musialmi]

Nie jest źle, ale dobrze też nie. Wyznacz poprawnie \(\displaystyle{ f(x+T)}\) Pomyśl kiedy sinusy dwóch kątów są sobie równe.
PS Co to znaczy, że T jest okresem?

[zanrill]

Zedytowałem, sprawdź Ale to chyba nie o to Ci chodziło

[musialmi]

No dobra, to załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x^2)}\) jest funkcją okresową, wtedy:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x+T)}\) , czyli:
\(\displaystyle{ \sin(x^2) = \sin(x^2+2xT + T^2)}\)
\(\displaystyle{ 2xT+T^2 = 2k\pi}\)

To jest dobre

Licząc z delty wychodzi, że okres jest mniejszy od zera, to można powiedzieć, że dochodzimy do sprzeczności, wobec czego ta funkcja nie jest okresowa?

Interesujące... Jakim cudem okres wychodzi mniejszy od zera, jeśli jest zależny od k, x?

[zanrill]

[EDIT] Nie wychodzi No ale nie stwierdzimy w takim razie, że to założenie jest sprzeczne.

Chociaż nie wiem, zagmatwane to jest zbytnio