wyznaczenie dziedziny funkcji

[ser-x]

Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
1)\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \log \left( \cos \left( \log x \right) \right)}\)
2)\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \log \left( \sin \frac{ \pi }{x} \right)}\)
3)\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( -\cos 3x \right) ^{x^{2} + 1}}\)

odp:
1)\(\displaystyle{ x \in \left( 10^{ \frac{- \pi }{2} +2k \pi }, 10^{ \frac{ \pi }{2} + 1k \pi } \right)}\)
3)\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{ \pi }{6} + \frac{2k \pi }{3}, \frac{ \pi }{2} + \frac{2k \pi }{3} \right)}\)
do drugiego odp nie mam
z pierwszego potrafię dojść tylko do momentu:
\(\displaystyle{ \cos \left( \log x \right) >0}\)
\(\displaystyle{ x>0}\)
podobnie z drugim:
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{x} >0}\)
z trzecim nawet nie wiem co zrobić, ktoś pomoże?

[musialmi]

A czy w trzecim coś jest uwarunkowane ograniczeniami dziedziny którejś z funkcji składowych?

Jeśli \(\displaystyle{ \cos (\log x)>0}\), to co można powiedzieć o tym logarytmie?

[pyzol]

Jakbyś miał nierówność:
\(\displaystyle{ \cos t>0}\), to jakbyś ją rozwiązał?

[ser-x]

oczywiście za \(\displaystyle{ 0}\) podstawić jakieś cosinus który równa się zero tak?
czyli np \(\displaystyle{ \cos (\log x)>\cos \frac{ \pi }{2}}\)

[musialmi]

Właściwie to nie zadziała, bo cosinus nie jest różnowartościowy. Z zacytowanej przeze mnie nierówności powinieneś wyciągnąć natychmiastowo wniosek na temat logarytmu.

[ser-x]

jedyne co mi przychodzi do głowy to to, że jest dodatni
nie wiem, serio nie wiem

[musialmi]

Dlaczego dodatni? :O

Jeśli \(\displaystyle{ \cos (\log x)>0}\), to co można powiedzieć o tym logarytmie?

Skoro na to nie da rady odpowiedzieć, to może dasz radę na to: \(\displaystyle{ \cos (\heartsuit )>0}\). Co można z pewnością powiedzieć o \(\displaystyle{ \heartsuit}\)?

[ser-x]

że jest zawsze spełnione?

[musialmi]

Jak \(\displaystyle{ \heartsuit =-3,14}\), to nie jest spełnione, więc to nie jest dobry wniosek. Wiesz coś na temat cosinusa, najlepiej o wykresie?
Zresztą pytałem co można powiedzieć o serduszku, a nie o nierówności. A o argumencie nie można powiedzieć, że jest spełniony, bo nie jest zdaniem.

[ser-x]

tzn wiem kiedy jest dodatni \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{- \pi }{2} + 2k \pi , \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \right)}\)

[musialmi]

No to dobrze, bo bez tego ani rusz. To co można o serduszku powiedzieć? A o logarytmie?

[ser-x]

że tak samo muszą być dodatnie, tylko nie widzę żadnej analogii niestety

[pyzol]

Wracając:
\(\displaystyle{ \cos t>0}\), dla \(\displaystyle{ t \in \left( \frac{- \pi }{2} + 2k \pi , \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \right)}\). Inaczej zapisując:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{2} + 2k \pi <t< \frac{-\pi }{2} + 2k \pi}\), a naszym \(\displaystyle{ t}\) jest \(\displaystyle{ \log x}\). Więc masz nierówność do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{2} + 2k \pi <\log x< \frac{\pi }{2} + 2k \pi}\)

[musialmi]

że tak samo muszą być dodatnie

Wcale nie muszą! Weźmy niedodatnie \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ \cos 0 = 1 >0}\) - zgadza się. Polecam ci wziąć wykres i na niego popatrzeć. Przypominam, że pytanie jest "kiedy cosinus jest dodatni"?
Napisałeś tak:

tzn wiem kiedy jest dodatni \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{- \pi }{2} + 2k \pi , \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \right)}\)

To dlaczego nie skorzystasz z tej informacji? Przecież widzisz, że są tu nie tylko dodatnie liczby.

[ser-x]

okeej, pierwsze obliczone drugie mam zrobić podobnie? czyli:
\(\displaystyle{ 2k \pi < \frac{ \pi }{x} < \pi + 2k \pi}\)
czy źle kombinuję?
sinus dodatni \(\displaystyle{ \in (2k \pi , \pi + 2k \pi )}\)