sprawdzenie równania z trygonometrii

[ser-x]

\(\displaystyle{ 2^{1+2\log _{2}\cos x } - \frac{3}{4} = 9^{0,5+\log _{3}\sin x }}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2^{\log _{2} \cdot \cos ^{2}x} - \frac{3}{4} = 3 \cdot 3^{\log _{3} \cdot \sin ^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - \frac{3}{4} = 3\sin ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - \frac{3}{4} = 3 - 3\cos ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 5\cos ^{2}x = \frac{15}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i z tych dwóch równań wyjdą 4 wyniki, w odpowiedziach wynik jest jeden i wynosi:
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
co robię źle?

[musialmi]

Nie uwzględniasz dziedziny logarytmu

[florek177]

sprawdź zapis równania. Podstawiłem wynik \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}\,\,\,}\) i dla obu stron wychodzą różne wyniki ( kalkulator).

[ser-x]

musialmi, masz rację - \(\displaystyle{ \cos x>0 \vee \sin x>0}\) zostaje wtedy \(\displaystyle{ \cos x = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
z tego wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{- \pi }{6} +2k \pi}\)
czemu zatem wynik ujemny odpada a zostaje tylko dodatni?

[a4karo]

Zacytuję musialmi:
nie uwzględniasz dziedziny logarytmu

Zanim przystąpi się do rozwiązywania takiego zadania nalezy sprawdzić dla jakich wartości argumentu wyrażenie ma sens.

[ser-x]

zgłupiałem, czyli jaki jeszcze musi być warunek bo naprawdę nie wiem

[a4karo]

kiedy logarytm istnieje?

[ser-x]

podstawa logarytmu dodatnia i różna od 1, liczba logarytmowa dodatnia - podstawa logarytmu jak widać jest dodatnia a \(\displaystyle{ cos>o}\) założyłem wcześniej

[a4karo]

przyjrzyj sie rownaniu i poszukaj innych logarytmów

[ser-x]

z sinusem zrobiłem dokładnie tak samo, więcej logarytmów niestety nie widzę

[a4karo]

to \(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right)}\) wyszedł Ci dodatni?

[ser-x]

nie rozumiem skąd się wziął ten sinus skoro pozbyłem się go wcześniej, zamieniając na cosinusa

[musialmi]

\(\displaystyle{ 2^{1+2\log _{2}\cos x } - \frac{3}{4} = 9^{0,5+\log _{3}\sin x }}\)

Tu jest. Wiesz czym się różni \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x}}\) od \(\displaystyle{ g(x)=1}\)?

[ser-x]

kurcze naprawdę dalej nie wiem dlaczego rozwiązując \(\displaystyle{ \cos \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) odrzucam wynik \(\displaystyle{ x= \frac{- \pi }{6} +2k \pi}\) a zostawiam \(\displaystyle{ x= \frac{\pi }{6} +2k \pi}\)

[musialmi]

Bo żeby rozwiązać równanie, potrzeba mieć zdefiniowane to:

\(\displaystyle{ 2\log _{2}\cos x}\)

Skoro chcesz, żeby \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}}\), to musisz umieć określić \(\displaystyle{ 2\log _2 \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)}\). A ile to jest? Tak w przybliżeniu?