Przekształcanie funkcji trygonometrycznej

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 6 lis 2014, o 20:45

Witam!
Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=}\) \(\displaystyle{ 1 + 2\cos x - \sin ^{2} x}\)
Znajdź argument, dla którego ta funkcja przyjmuje najmniejszą wartość.

Szczerze przyznam, że nie radzę sobie już z przekształcaniem tego wzoru :/ Dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ 2\cos x + \cos ^{2} x}\)
I nie wiem co dalej. Nie wiem czy to też dobre posunięcie akurat w ten sposób przekształcać ów wzór....
Proszę o pomoc

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 6 lis 2014, o 21:01

Wystarczy znaleźć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto 2t+t^2}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle}\).

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 6 lis 2014, o 21:29

A jak już zapiszę tę funkcję tak jak każesz to co dalej ?
Liczę "x" ?

kalwi · Post autor: **kalwi** » 6 lis 2014, o 21:47

A po co? Wystarczy, że podstawisz wartości graniczne dla cosinusa i wsio. Czyli minimum to

\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( -1\right)+\left( -1\right)^2=-1}\)

A maksimum:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 1+1^2=3}\)

I koniec zadania. Oczywiście należy jeszcze uzasadnić, czemu te wartości a nie inne zostały podstawione (np. poprzez wykres funkcji \(\displaystyle{ 2t+t^2}\) można to zrobić).

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 6 lis 2014, o 21:57

O kurcze! Nie wpadłbym na tak (najwyraźniej pozornie...) proste rozwiązanie. Dziękuję bardzo za pomoc
A jeszcze dla jasności: Jak mam to uzasadnić? Przecież widać na wykresie, że wartość minimalna dla cosniusa to -1 a maksymalna to +1. Wystarczy coś takiego napisać ?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 6 lis 2014, o 22:08

\(\displaystyle{ f(x)=1+2\cos x- \sin ^{2} x \\f(x)=2\cos x+ \cos ^{2} x \\f(x)=(\cos x+1)^2-1}\)

kalwi · Post autor: **kalwi** » 6 lis 2014, o 23:16

Axon96 pisze:O kurcze! Nie wpadłbym na tak (najwyraźniej pozornie...) proste rozwiązanie. Dziękuję bardzo za pomoc
A jeszcze dla jasności: Jak mam to uzasadnić? Przecież widać na wykresie, że wartość minimalna dla cosniusa to -1 a maksymalna to +1. Wystarczy coś takiego napisać ?

no dobrze, ale jeśli byś miał funkcję np

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\cos x}, \ \ \cos x \neq 0}\)

To czy wtedy minimum będzie dla \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) a maximum dla \(\displaystyle{ \cos x=1}\)? no nie bardzo, więc musisz patrzeć na wykres funkcji \(\displaystyle{ 2t+t^2}\) na przedziale \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle}\)