nierówność z wartością bezwględną i cosinusami

[Roudin]

Witam. Mam pytanie co do tego zadania.
1. Udowodnij, że dla każdego x i y ze zbioru liczb rzeczywistych.\(\displaystyle{ \left| \cos(x)-\cos(y)\right| \le \left| x-y\right|}\)

Wiem, że sin i cos jest ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\)

czyli
\(\displaystyle{ \left| \cos(x)-\cos(y)\right|=\left| -2\sin \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x-y}{2} \right|}\)

Czy tutaj moge przyjąć za jeden moduł sinusa, że jest mniejszy lub równy od 1 i go pominąć? wtedy bym miał \(\displaystyle{ \left| \sin \frac{x-y}{2}\right| \le \left| \frac{x-y}{2} \right|}\) i już dalej proste.

Jak nie to może ktoś mi podpowiedzieć?

[Kacperdev]

Trochę poprzestawiały Ci się wartości bezwzględne, ale tak - o to właśnie chodzi. Ograniczasz z góry sinusa przez jedynkę.

EDIT.

Teraz już masz ok wartośći bezwzgledne.

Całość tak:

\(\displaystyle{ \left| \cos(x)-\cos(y)\right|=\left| -2\sin \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x-y}{2} \right|
\le 2 \left| \frac{x-y}{2} \right|\cdot 1}\)

[Roudin]

Ok dzięki wielkie za pomoc