Punkt zero, wymierna kombinacja funkcji

[harleyzg]

Witam,
Mam problem z następującymi zadaniami:
1. Czy funkcję \(\displaystyle{ y=\sin \frac{1}{x}}\) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? a funkcję \(\displaystyle{ y=x\sin \frac{1}{x}}\)?
2. Wyraź cztery podstawowe funkcję trygonometryczne argumentu x jako wymierną kombinację funkcji \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\)
3. Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość \(\displaystyle{ \arctg x + \arctg \frac{1}{x}= \frac{ \pi }{2}}\). Jak wygląda analogiczna równość dla ujemnych x?

Kompletnie nie wiem jak się zabrać do powyższych zadań. Mógłby mi ktoś pomóc? Z góry dzięki

[musialmi]

W 1a za pomocą definicji Heinego pokaż brak granicy tej funkcji w zerze. W 1b możesz skorzystać z twierdzenia, w którym występuje coś ograniczonego i zbieżnego do zera, kojarzysz?

[a4karo]

2 zastosuj wzory na \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{2}}\). Jedynka trygonometryczna też się przyda.

3. Zacznij od: niech \(\displaystyle{ x=\tg y}\)...

[miodzio1988]

3. Lewą stronę potraktuj jako funkcję zależną od x i policz pochodna tej funkcji

wychodzi zero, zatem...?

[harleyzg]

W 1a za pomocą definicji Heinego pokaż brak granicy tej funkcji w zerze.

Czyli korzystam z tego, że: \(\displaystyle{ \lim x _{n} '= x_{0}, x _{n}' \neq x _{0}, \lim_ x _{n}'=g'}\)
\(\displaystyle{ \lim x _{n} "= x_{0}, x _{n}" \neq x _{0}, \lim_ x _{n}"=g"}\)
\(\displaystyle{ g' \neq g"}\)

potem za \(\displaystyle{ x_{n}' = \frac{1}{n \pi} i x _{n}"= \frac{1}{ \frac{\pi}{2} + 2n\pi }}\)

dobrze zrozumiałem? A jeśli tak, to nic więcej nie trzeba dodać?

W 1b możesz skorzystać z twierdzenia, w którym występuje coś ograniczonego i zbieżnego do zera, kojarzysz?

Kurde, szczerze to nie kojarze Mógłbyś to bardziej objaśnić?

3. Lewą stronę potraktuj jako funkcję zależną od x i policz pochodna tej funkcji

wychodzi zero, zatem...?

Jeszcze pochodnych nie miałem na analizie. Mieliśmy własności funkcji elementarnych, granice funkcji, ciągów i ciągłość funkcji. Nie ma na to innej recepty?

2 zastosuj wzory na \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{2}}\). Jedynka trygonometryczna też się przyda.

Troszeczkę kombinowałem, starałem się coś z tego stworzyć, ale nic nie wyszło :/

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\dots}\)

[harleyzg]

\(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\dots}\)

Dzięki! wyszło!

3. Zacznij od: niech \(\displaystyle{ x=\tg y}\)...

Mógłbyś rozwinąć tą myśl jeszcze?

[a4karo]

Skoro \(\displaystyle{ x=\tg y}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\ctg y}\).

Wstaw do lewej strony i zastosuj wzór \(\displaystyle{ \arctg \alpha+\arcctg \alpha=???}\)

[musialmi]

W 1a za pomocą definicji Heinego pokaż brak granicy tej funkcji w zerze.

Czyli korzystam z tego, że: \(\displaystyle{ \lim x _{n} '= x_{0}, x _{n}' \neq x _{0}, \lim_ x _{n}'=g'}\)
\(\displaystyle{ \lim x _{n} "= x_{0}, x _{n}" \neq x _{0}, \lim_ x _{n}"=g"}\)
\(\displaystyle{ g' \neq g"}\)

potem za \(\displaystyle{ x_{n}' = \frac{1}{n \pi} i x _{n}"= \frac{1}{ \frac{\pi}{2} + 2n\pi }}\)

dobrze zrozumiałem? A jeśli tak, to nic więcej nie trzeba dodać?

Napisz to jeszcze raz, bo źle użyłeś latexa.

W 1b możesz skorzystać z twierdzenia, w którym występuje coś ograniczonego i zbieżnego do zera, kojarzysz?

Kurde, szczerze to nie kojarze Mógłbyś to bardziej objaśnić?

Jeśli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) jest ciągiem ograniczonym, to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_nb_n=0}\). Po prostu \(\displaystyle{ 0 \cdot x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest czymkolwiek oprócz (minus) nieskończoności daje w arytmetyce granic zero - tak łatwo to kojarzyć.

[harleyzg]

Napisz to jeszcze raz, bo źle użyłeś latexa.

ok, więc jeszcze raz:

Na podstawie tego chcę udowodnić, że granicy nie ma w punkcie równym 0 za pomocą def. Heinego:
\(\displaystyle{ \lim x _{n} '= x_{0}}\), \(\displaystyle{ x _{n}' \neq x _{0}}\), \(\displaystyle{ \lim_ x _{n}'=g'}\)
\(\displaystyle{ \lim x _{n} "= x_{0}}\), \(\displaystyle{ x _{n}" \neq x _{0}}\), \(\displaystyle{ \lim_ x _{n}"=g"}\)
\(\displaystyle{ g' \neq g"}\)


Zapisałem to tak:
\(\displaystyle{ x _{n}= \frac{1}{n\pi}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{x _{n} }= \lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{ \frac{1}{n \cdot \pi} }= \lim_{ x\to 0}n \cdot \pi=0}\)
\(\displaystyle{ x _{n}'= \frac{1}{ \frac{\pi}{2}+2 \cdot n\pi}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{x _{n}' }= \lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{\frac{1}{ \frac{\pi}{2}+2 \cdot n\pi}}= 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \neq 1}\)
więc granicy w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\) nie ma.
dobrze kombinuje?

Jeśli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) jest ciągiem ograniczonym, to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_nb_n=0}\). Po prostu \(\displaystyle{ 0 \cdot x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest czymkolwiek oprócz (minus) nieskończoności daje w arytmetyce granic zero - tak łatwo to kojarzyć.

skąd wiesz, że ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest ograniczony?

[musialmi]

Znów źle użyłeś latexa, ale wiesz o co chodzi. Oznaczenia są niespójne, ale myśl bardzo dobra, bo dokładnie o to chodziło!

Skąd wiem, że \(\displaystyle{ b_n}\) jest ograniczony? Takie jest założenie twierdzenia.