Równanie trygonometryczne

[Chewbacca97]

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sin^{1995}x - \cos^{1995}x = 1}\)

Rozpocząłem od przekształcenia równania:
\(\displaystyle{ \sin^{1995}x - \cos^{1995}x = 1 \\ \sin^{1995}x - \cos^{1995}x = \sin^{2}x + \cos^{2}x \\ \sin^{2}x\left(1- \sin^{1993}x\right) + \cos^{2}x\left(1 + \cos^{1993}x\right) = 0}\)

Ostatnia równość jest spełniona, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x=0 \\ \cos x=0 \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x=1 \\ \cos x=-1 \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x=0 \\ \cos x=-1 \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x=1 \\ \cos x=0 \end{cases}}\)

Pierwsza opcja odpada, ale co do reszty nie mam jakoś pewności, utknąłem wspomoże ktoś?-- 1 lis 2014, o 22:27 --Można to np. ugryźć w taki sposób, że skoro \(\displaystyle{ \sin x=1}\) to \(\displaystyle{ x=0}\), a kiedy \(\displaystyle{ x=0}\) to \(\displaystyle{ \cos x=1 \neq -1}\)? I odpadnie nam wtedy 2 opcja.

[a4karo]

Ostatnia równość jest spełniona, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x=0 \\ \cos x=0 \end{cases} lub \begin{cases}\sin x=1 \\ \cos x=-1 \end{cases} lub \begin{cases}\sin x=0 \\ \cos x=-1 \end{cases} lub \begin{cases}\sin x=1 \\ \cos x=0 \end{cases}}\)

Dlaczego to miałyby byc wszystkie rozwiązania?

Można to np. ugryźć w taki sposób, że skoro \(\displaystyle{ \sin x=1}\) to \(\displaystyle{ x=0}\),

To też dość ryzykowne.

Wskazówka: równanie jest równoważne równaniu

\(\displaystyle{ \sin^{1995}(-x)+\cos^{1995}(-x)=-1}\)

[stasius12]

To prawda, jest to ryzykowne, ale jeżeli się zrobi to dokładnie - niczego się nie pominie!
A więc:
1. Przede wszystkim rysujemy sobie obie funkcje w jednym układzie współrzędnych,.. mam na myśli \(\displaystyle{ y=\sin x}\) i \(\displaystyle{ y=\cos x}\).
2. cztery przypadki, które wypisałeś są poprawne, pierwszy wniosek również( \(\displaystyle{ \sin x=0}\) i \(\displaystyle{ \cos x=0}\)).
Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczba całkowitą.
Drugi:
\(\displaystyle{ \sin x=1 \wedge \cos x=-1 \Leftrightarrow x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \wedge x= \pi +2k \pi}\). Zatem brak rozwiązań.
Trzeci:
\(\displaystyle{ \sin x=0 \wedge \cos x=-1 \Leftrightarrow x=k \pi \wedge x= \pi +2k \pi}\).
Zatem z iloczynu zbiorów mamy: \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\)
Czwarty:
\(\displaystyle{ \sin x=1 \wedge \cos x=0 \Leftrightarrow x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \wedge x= \frac{ \pi }{2} + k \pi}\). Zatem z iloczynu zbiorów mamy: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\)

Sumując wszystkie 3 zbiory otrzymujemy: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\)

[Chewbacca97]

Dlaczego to miałyby byc wszystkie rozwiązania?

Wydawało mi się, że skoro liczby: \(\displaystyle{ \sin^{2}x}\), \(\displaystyle{ 1-\sin^{1993}x}\), \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\), \(\displaystyle{ 1+\cos^{1993}}\) są nieujemne, to jedynymi rozwiązaniami będą te podane przeze mnie. I w zasadzie to nie rozumiem dlaczego miałoby być inaczej.

a4karo, mógłbyś wytłumaczyć?-- 1 lis 2014, o 23:46 --stasius12, dzięki za wyjaśnienie! Próbowałem to zadanie zrobić różnymi sposobami, raz właśnie doszedłem do tego co ty, tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \\ x= \pi +2k \pi \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}x=k \pi \\ x= \pi +2k \pi \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \\ x= \frac{ \pi }{2} + k \pi \end{cases}}\)

Nie wiedziałem jednak w ogóle co ma mi to powiedzieć...

Mam jeszcze jedno pytanie: dlaczego w przypadku drugim, iloczyn zbiorów równy jest \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\)? Nie widzę tego niestety.

[stasius12]

Ojoj przepraszam.. w drugim rzeczywiście nie ma rozwiązań
Ale wynik końcowy pozostaje bez zmian

[a4karo]

a4karo, mógłbyś wytłumaczyć?

bo wymknęły Ci się rozwiązania dla których \(\displaystyle{ \sin x=-1}\)

[Chewbacca97]

Prawie zapomniałem o tym zadaniu. a4karo, nie rozpatrywałem przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin x=-1}\), ponieważ równanie nie posiada wtedy rozwiązania. Wracając do zadania, wyszło mi że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=k \pi \\ x= \pi +2k \pi \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \\ x= \frac{ \pi }{2} + k \pi \end{cases}}\)

Odpowiedzią do tego zadania jest: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\). Problem w tym, że nie mogę tego dostrzec. Mógłby ktoś wytłumaczyć w jaki sposób stasius12 doszedł do tego z iloczynu zbiorów?

[kropka+]

Odpowiedzią do tego zadania jest: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\).

Nieprawda. Np. \(\displaystyle{ \pi}\) też jest rozwiązaniem. Czyli jakie jest rozwiązanie z tych dwóch układów równań?

[a4karo]

Prawie zapomniałem o tym zadaniu. a4karo, nie rozpatrywałem przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin x=-1}\), ponieważ równanie nie posiada wtedy rozwiązania. Wracając do zadania, wyszło mi że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=k \pi \\ x= \pi +2k \pi \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \\ x= \frac{ \pi }{2} + k \pi \end{cases}}\)

Odpowiedzią do tego zadania jest: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\). Problem w tym, że nie mogę tego dostrzec. Mógłby ktoś wytłumaczyć w jaki sposób stasius12 doszedł do tego z iloczynu zbiorów?

Drugi przypadek rozwiązałęś prawidłowo, natomiast nie uwzględniłeś rozwiązań pierwszego przypadku. W nim \(\displaystyle{ x}\) musi być dowolna wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\) (o tym mówi pierwsze równanie) i jednocześnie nieparzysta wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\), a zatem...

Ja zresztą preferuję takie rozumowanie:
Jeżeli \(\displaystyle{ x\neq k\frac{\pi}{2}}\) to \(\displaystyle{ |\cos x|<1}\) i \(\displaystyle{ |\sin x|<1}\), zatem \(\displaystyle{ |\cos^{1995}x|<\cos^2x}\) i \(\displaystyle{ |\sin^{1995}x|<\sin^2x}\), czyli
\(\displaystyle{ |\cos^{1995} x+\sin^{1995}x|<1}\)
Równość jest zatem możliwa jedynie dla \(\displaystyle{ x=0,\pi/2,\pi,3\pi/2}\) oraz ich przesunięć o \(\displaystyle{ 2k\pi}\).
Prostym sprawdzeniem stwierdzamy, że rozwiązania to \(\displaystyle{ \pi/2+2k\pi}\) oraz \(\displaystyle{ \pi+2k\pi}\)

[Chewbacca97]

Czyli prawidłową odpowiedzią jest: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi}\) i \(\displaystyle{ x=\pi+2k\pi}\)?
Widać to na rysunku.

AU

300px-Sine_Cosine_Graph.png (20.93 KiB) Przejrzano 66 razy

Odpowiedzią do tego zadania jest: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\).

Tylko, że taki wynik jest w odpowiedziach... No ale skoro nie chce wyjść inaczej, to znaczy że odpowiedzi są w błędzie.

Dzięki za pomoc!