Dowód funkcji kołowych

[edward1337]

\(\displaystyle{ \arccos \sqrt{1- x^{2} } =\arcsin(-x)}\)\(\displaystyle{ oraz -1<x<1}\)
\(\displaystyle{ \arcsin(-x)=y}\) czyli\(\displaystyle{ \sin y=-x}\)
a więc \(\displaystyle{ \sin ^{2}y=x^2}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos^{2}y=x^2}\)
\(\displaystyle{ \cos y=\sqrt{1-x^2}}\)
podstawiam do lewej strony i niby się zgadza ale czuje, że coś gubię podnosząc do kwadaratu obustronnie...

[a4karo]

Podnosząc do kwadratu nic nie gubisz. Jedyny problem to ostatni krok: czy pierwiastek wziąć z plusem czy z minusem. Generalnie Twoje stwierdzenie nie jest prawdziwe, bo lewa strona jest zawsze dodatnia, a prawa jest ujemna dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\). Przemyśl to.

[edward1337]

może ktoś dać podpowiedź
Edit:
\(\displaystyle{ \arcsin(-x) = \alpha, \alpha \in \left( \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =-x}\)
i teraz z jedynki:
\(\displaystyle{ \cos^{2} \alpha =1-\sin^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ |cos \alpha|= \sqrt{1- \sin^{2} \alpha}}\)
1 i 4 ćwiartka cosinus dodatni
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \sqrt{1-x^{2}}}\)
ckd.

[a4karo]

No to wstaw \(\displaystyle{ x=1/2}\) i zobacz, czy masz równość

[edward1337]

gdzie mam wstawić ? Poddaje się... Proszę o rozwiązanie

[a4karo]

Gdzie? do wzoru, który chcesz udowodnić.

[edward1337]

nadal nic mi to nie mówi... Chodzi Panu o to, że moje rozumowanie jest błędne?

[a4karo]

Skoro jest "dowodem" wzoru, który nie jest prawdziwy, to musi być błędne