Mieszanka z funkcjami trygonometrycznymi, zadania maturalne.

[mich12]

Witam!
Proszę o pomoc z tymi zadaniami, z góry dzięki.

1.
Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) + \sin^{2}x = \frac{1}{4}}\)

2.
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{ \left( \sin x + \cos x \right) \left( \sin x - \cos x \right) }}\)

3.
Wykaż, że dla dowolnej wartości \(\displaystyle{ x\in R}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \cos \left( x+ \frac{\pi}{6} \right) = \frac{ \sqrt{3} \cdot \cos x - \sin x}{2}}\)

4. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos x \cdot \sqrt{3} - \sin x, x \in R.}\)
a) Naszkicuj wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\)
b) Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ f \left( x \right) =1}\)

Z góry dzięki

[lukasz1804]

1. Pomogą Ci wzory na kosinus sumy i różnicy.
2. W mianowniku: wzór skróconego mnożenia, później wzór na funkcję podwojonego kąta. Jaki jest zbiór wartości funkcji w mianowniku?
3. Wzór na kosinus sumy.
4. Przedstaw funkcję w prostszej postaci korzystając z zadania 3.

[mich12]

2.
Czy zbiór wartości mianownika to \(\displaystyle{ \left\langle -1;1 \right\rangle}\) ? Jeśli tak to jak wywnioskować zbiór całej funkcji?

[piasek101]

Bez zera.

Szacować. Szukać problemów gdy mianownik zmierza do zera.

[Premislav]

Jak najbardziej. Można rozumować tak: w pobliżu miejsc zerowych funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\cos 2x}\) będziesz mieć bardzo mały co do modułu mianownik, a więc badana przez Ciebie funkcja będzie przyjmować wartości duże co do modułu... Ponadto cosinus ma wartość bezwzględną nie większą od \(\displaystyle{ 1}\), więc wartość bezwzględna licznika będzie zawsze nie mniejsza od wartości bezwzględnej mianownika, czyli nie otrzymasz liczb z przedziału... (jakiego?).

[mich12]

Nadal nie ogarniam Twojego rozumowania...