Witam! Nie jestem pewien czy dobrze rozwiązałem zadanie i czy może da się zrobić to jakoś sprawniej. Proszę aby ktoś rozwiązał to równanie:
\(\displaystyle{ \sin 3x - \sin 2x = \sin x}\)
Równanie trygonometryczne
-
Dario1
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin 3x - \sin 2x = \sin x}\)
\(\displaystyle{ 3\sin x - 4\sin x ^{3}-2\sin x\cos x = \sin x}\)
Jedno rozwiązanie z:
\(\displaystyle{ \sin x=0}\) daje \(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub dalej:
\(\displaystyle{ 3-4\sin x ^{2}-2\cos x=1 \\
4\sin x ^{2}+2\cos x=2 \\
2\sin x ^{2}+\cos x=1 \\
2\left( 1-\cos x ^{2} \right)+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x ^{2}-\cos x-1=0}\) z tego jak się policzy deltę wychodzi:
\(\displaystyle{ \cos x=- \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\) No i dalej z tego:
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{4}{3}\pi+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) co przejdzie w efekcie na \(\displaystyle{ x=k\pi}\) biorąc pod uwagę poprzednie rozwiązanie.
\(\displaystyle{ 3\sin x - 4\sin x ^{3}-2\sin x\cos x = \sin x}\)
Jedno rozwiązanie z:
\(\displaystyle{ \sin x=0}\) daje \(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub dalej:
\(\displaystyle{ 3-4\sin x ^{2}-2\cos x=1 \\
4\sin x ^{2}+2\cos x=2 \\
2\sin x ^{2}+\cos x=1 \\
2\left( 1-\cos x ^{2} \right)+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x ^{2}-\cos x-1=0}\) z tego jak się policzy deltę wychodzi:
\(\displaystyle{ \cos x=- \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\) No i dalej z tego:
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{4}{3}\pi+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) co przejdzie w efekcie na \(\displaystyle{ x=k\pi}\) biorąc pod uwagę poprzednie rozwiązanie.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2014, o 09:50 przez Dario1, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Axon96
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 sie 2014, o 11:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódzkie
- Podziękował: 10 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin 3x - \sin 2x = \sin x \\
\sin 3x - \left[ 2 \sin x \cos x \right] = \ \sin x \\
\sin 3x - 2 \sin x \cos x = \sin x \\
\sin 3x - 2 \sin x \cos x - \sin x= 0 \\
2 \sin x \cos 2x - 2 \sin x \cos x = 0 \\
2 \sin x \left( \cos 2x - \cos x \right) = 0 \\
2 \sin x \left( -2\sin \frac{3}{2} x \sin \frac{x}{2} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 0 \vee \sin\frac{3}{2}x =0 \vee \sin \frac{x}{2}=0 \\
x = k\pi,\ x= \frac{2}{3} k\pi,\ x= 2k\pi}\)
Coś takiego stworzyłem ja.
-- 14 paź 2014, o 13:39 --
A rozwiązanie kolegi Dario jest dla mnie mało zrozumiałe niestety :/ Proszę wybaczyć ale nie czuję się w tych zadaniach jeszcze wyjątkowo pewnie
\sin 3x - \left[ 2 \sin x \cos x \right] = \ \sin x \\
\sin 3x - 2 \sin x \cos x = \sin x \\
\sin 3x - 2 \sin x \cos x - \sin x= 0 \\
2 \sin x \cos 2x - 2 \sin x \cos x = 0 \\
2 \sin x \left( \cos 2x - \cos x \right) = 0 \\
2 \sin x \left( -2\sin \frac{3}{2} x \sin \frac{x}{2} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 0 \vee \sin\frac{3}{2}x =0 \vee \sin \frac{x}{2}=0 \\
x = k\pi,\ x= \frac{2}{3} k\pi,\ x= 2k\pi}\)
Coś takiego stworzyłem ja.
-- 14 paź 2014, o 13:39 --
A rozwiązanie kolegi Dario jest dla mnie mało zrozumiałe niestety :/ Proszę wybaczyć ale nie czuję się w tych zadaniach jeszcze wyjątkowo pewnie
Ostatnio zmieniony 14 paź 2014, o 20:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Dario1
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Równanie trygonometryczne
Wykorzystane zostały wzory trygonometryczne. Może to jest niezrozumiałe?
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x \\
\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x \\
\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}\)
Ostatnio zmieniony 14 paź 2014, o 20:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Axon96
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 16 sie 2014, o 11:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódzkie
- Podziękował: 10 razy
Równanie trygonometryczne
No fakt, tego drugiego wzoru nie znałem, dzięki.
Jednak w odpowiedziach mam wynik:
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}k\pi}\)
co raczej nie pokrywa się z Twoim rozwiązaniem.
Ale mówisz, że \(\displaystyle{ 2k\pi}\) i \(\displaystyle{ k\pi}\) mogę zapisać jako jedno rozwiązanie. Czy to oznacza, że zrobiłem dobrze?
Jednak w odpowiedziach mam wynik:
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}k\pi}\)
co raczej nie pokrywa się z Twoim rozwiązaniem.
Ale mówisz, że \(\displaystyle{ 2k\pi}\) i \(\displaystyle{ k\pi}\) mogę zapisać jako jedno rozwiązanie. Czy to oznacza, że zrobiłem dobrze?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2014, o 20:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dario1
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Równanie trygonometryczne
To co jest w odpowiedziach pokrywa się z moim rozwiązaniem bo dla kolejnych k:
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi,\frac{8}{3}\pi,\frac{14}{3}\pi,\frac{20}{3}\pi,...}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{4}{3}\pi+2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi,\frac{10}{3}\pi,\frac{16}{3}\pi,\frac{22}{3}\pi,...}\)
\(\displaystyle{ x=2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{6}{3}\pi,\frac{12}{3}\pi,\frac{18}{3}\pi,\frac{24}{3}\pi,...}\).
Jeśli kolejno połądczymy te rozwiązania to widać, że różnią się one o \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) i można je zapisać jako \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}k\pi}\). Czyli te 3 rozwiązania co napisałem przechodzą w \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}k\pi}\). i pozostaje jeszcze \(\displaystyle{ x=k\pi}\). To co napisałeś też jest poprawne, bo tak jak mówiłem wcześniej \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) przechodzi w \(\displaystyle{ x=k\pi}\).
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi,\frac{8}{3}\pi,\frac{14}{3}\pi,\frac{20}{3}\pi,...}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{4}{3}\pi+2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi,\frac{10}{3}\pi,\frac{16}{3}\pi,\frac{22}{3}\pi,...}\)
\(\displaystyle{ x=2k\pi}\) daje rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{6}{3}\pi,\frac{12}{3}\pi,\frac{18}{3}\pi,\frac{24}{3}\pi,...}\).
Jeśli kolejno połądczymy te rozwiązania to widać, że różnią się one o \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) i można je zapisać jako \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}k\pi}\). Czyli te 3 rozwiązania co napisałem przechodzą w \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}k\pi}\). i pozostaje jeszcze \(\displaystyle{ x=k\pi}\). To co napisałeś też jest poprawne, bo tak jak mówiłem wcześniej \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) przechodzi w \(\displaystyle{ x=k\pi}\).