Funkcje cyklometryczne, problem z dziedziną

[boorkyy]

Mam taki przykład, że muszę narysować wykres, wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę.

\(\displaystyle{ y = \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( 2x - 1 \right) + 1}\)

No i ogólnie to zrobiłem, ale mam problem z końcową dziedziną, bo tak:

1)\(\displaystyle{ y = \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( 2x \right)}\), to dziedzina to:\(\displaystyle{ x \in \left[ \frac{-1}{2}; \frac{1}{2} \right]}\), a przeciwdziedzina to: \(\displaystyle{ y \in \left[ 0; \frac{ \pi }{2} \right]}\) i tutaj mam ok.

2) Ale potem jak mam: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( 2x - 1 \right) + 1}\), to wolframalpha pokazuje, że dziedzina to: \(\displaystyle{ x \in \left[ 0; 1 \right]}\) i trochę nie rozumiem dlaczego, bo przecież jak mamy translację o wektor \(\displaystyle{ \left[ 1;1 \right]}\) to funkcja powinna się przesunąć o 1 w prawo i o 1 do góry. No i z przeciwdziedziną to działa, bo jest \(\displaystyle{ y \in \left[ 1; 1 + \frac{ \pi }{2} \right]}\). Dlaczego tutaj dziedziną nie jest \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}; \frac{3}{2} \right]}\)?

Bo ja sobie tak myślałem, że przy rysowaniu wykresu dzielę wszystkie jednostki przez 2 i wtedy przesunięcie o \(\displaystyle{ \left[ 1;0 \right]}\) odpowiada tak naprawdę przesunięciu o\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}; 0 \right]}\) i wtedy dziedzina miałaby sens, ale nie dzieje się tak w przypadku przeciwdziedziny, bo jak np. mamy:
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{2} \arccos \left( x \right) + \pi}\) to przeciwdziedziną byłoby \(\displaystyle{ y \in \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]}\), a jest \(\displaystyle{ y \in \left[ \pi; \frac{3}{2}\pi \right]}\), czyli taki zabieg możemy robić na osi OX, ale nie na osi OY. Dlaczego?

[kropka+]

wolframalpha pokazuje, że dziedzina to: \(\displaystyle{ x \in \left[ 0; 1 \right]}\) i trochę nie rozumiem dlaczego

Dziedzina "normalnego" arcusa to \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\). Stąd masz układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-1 \ge -1 \\ 2x-1 \le 1\end{cases}}\)

Rozwiąż go i masz dziedzinę.

[Everard]

Tu nie ma jakiejś dziwnej historii że na osi OX coś zachowuje się inaczej niż na osi OY - asymetria którą zaobserwowałeś bierze się stąd, że w Twojej funkcji masz czynnik \(\displaystyle{ 2x}\), zatem na \(\displaystyle{ 2x-1}\) powinieneś patrzeć jako na \(\displaystyle{ 2 \left( x-\frac12 \right)}\).

Pozdrawiam

[boorkyy]

Okay, rozumiem. Dziękuję wam.