Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

[DanielMat]

Witam, trafiłem na kolejny problem z rozwiązaniem zadania stanąłem na jednym punkcie i nie przychodzi mi nic na myśl.

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) - \sin \left( \frac{ \pi }{3}-x \right) = \sin x}\)


\(\displaystyle{ L= \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) - \sin \left( \frac{ \pi }{3}-x \right) = \sin \frac{ \pi }{3} \cos x + \sin x + \cos \frac{ \pi }{3} - \left( \sin \frac{ \pi }{3}\cos x - \sin x \cos \frac{ \pi }{3} \right) = \sin \frac{ \pi }{3} \cos x + \sin x \cos \frac{ \pi }{3} - \sin x\cos \frac{ \pi }{3} + \sin x\cos \frac{ \pi }{3} = 2\sin x\cos \frac{ \pi }{3}}\)

i to nie jest równe \(\displaystyle{ \sin x}\)

Jeszcze mam taki przykład w którym mam przedstawić wyrażenie w postaci iloczynu:
\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha + \cos \frac{ \alpha }{2} = \cos 0 + \cos \alpha + \cos \frac{ \alpha }{2}}\)

nie wiem co dalej zrobić mam 3 sumy.

[piasek101]

A ile wynosi cosinus pi trzecich ?

[Premislav]

Jakoś źle poużywałeś wzoru na sinus sumy i różnicy: \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta}\), dla różnicy to samo, tylko z minusem zamiast plusa między tymi iloczynami.
W tym drugim użyj jedynki trygonometrycznej i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

[dr Wieslaw Zajiczek]

Powinno być \(\displaystyle{ L= \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) - \sin \left( \frac{ \pi }{3}-x \right) = \sin \frac{ \pi }{3} \cos x + \sin x \cos \frac{ \pi }{3} -}\).... itd (trzeba zmienić znak + na mnożenie)

[DanielMat]

Tak błąd w pisowni na komputerze tylko. Poradziłem sobie z pierwszym przykładem.

Pomoże ktoś z drugim?

[piasek101]

2) Rozpisz cosinusa (środkowego) na połówkowe kąty.

[DanielMat]

Coś takiego?

\(\displaystyle{ \cos 0 + \cos \frac{ \alpha }{2} + \cos \frac{ \alpha }{2} + \cos \frac{ \alpha }{2}}\)

?

[piasek101]

Eee tam. Szukaj wzoru na cosinus podwojonego kąta, bo \(\displaystyle{ \alpha=2\cdot 0,5\alpha}\)