Równanie z funkcjami trygonometrycznymi

[rafcio_100]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 2^{4\cos^2 x+1}+16 \cdot 2^{4\sin^2 x-3}=20}\)

Rozwiązuję więc tak:
\(\displaystyle{ (2^4)^{\cos ^2x} \cdot 2+2^4 \cdot (2^4)^{\sin ^2x}:2^3=20}\)
\(\displaystyle{ (2^4)^{\cos ^2x} \cdot 2+ \frac{2^4 \cdot (2^4)^{\sin ^2x}}{2^3}=20}\)
\(\displaystyle{ 2^{4\cos ^2x+1}+2^{4\sin ^2x+1}=20}\)

W tym momencie nie wiem, co dalej. Bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

Obliczeń nie sprawdzam, zakładając, że masz dobrze.
Można skorzystać ze wzorów wynikających ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i jedynki trygonoetrycznej:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x= \frac{1+\cos 2x}{2} \\ \sin ^{2}x= \frac{1-\cos 2x}{2}}\).
Dzieląc równanie stronami przez 2, dostajesz \(\displaystyle{ 2^{4\cos ^2x}+2^{4\sin ^2x}=10}\). Dalej, korzystając z wypisanych przeze mnie wzorków i coś tam mnożąc, dochodzi do czegoś w tym stylu:
\(\displaystyle{ 4 ^{1+\cos 2x}+4 ^{1-\cos 2x}=10}\). No to dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ t=4 ^{\cos 2x}}\), co po wymnożeniu sprowadza się do równania kwadratowego.

[Ania221]

zamień \(\displaystyle{ \sin}\)na \(\displaystyle{ \cos}\) z jedynki, uprość, podstaw zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ 2^{4\cos ^2x}}\)

[rafcio_100]

Premislav, dzieląc stronami i podstawiając zmienną mam równanie:
\(\displaystyle{ t+t^{-1}= \frac{5}{2}}\)

EDIT: Rozwiązane nie skapnąłem się że \(\displaystyle{ t^{-1}}\) to po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\)