Równania trygonometryczne - rozwiązywanie równań.

[Albercikkk]

hejka,
mam pewien problem z (pozornie) prostymi zadaniami, które jestem w stanie wykonać jedynie do pewnego momentu.

2)(polecenie: rozwiąż równanie)
\(\displaystyle{ \sin^{2} 3\alpha - \sqrt{2} \sin 3 \alpha + \frac{1}{2}= 0}\)

tutaj moja próba, która pozwoliła mi wyznaczyć jedynie jedną z dwóch możliwości:
1) zrobiłem podstawienie \(\displaystyle{ \sin 3x = t}\)
2) wyliczyłem deltę (\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)), z czego otrzymałem: \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
3) po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin 3x = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 3x = \frac{ \pi }{4} + 2k \pi \Rightarrow x= \frac{ \pi }{12} + \frac{2k \pi }{3}}\)
gdyby ktoś mógł mnie nakierować ewentualnie wytknąć mi błędy - byłbym wdzięczny.

[Igor V]

Musisz przepisać rozwiązanie ,tutaj na forum (wrzucanie zdjęć jest zabronione)
Generalnie proponuję najpierw podstawienie \(\displaystyle{ t=3\alpha}\) ,a potem jeszcze \(\displaystyle{ u=
\sin t\in[-1,1]}\).Wyjdziesz wtedy na funkcję kwadratową.

[Albercikkk]

Igor V, nie wiem, czy dobrze zrozumiałem, ale jeżeli tak - to dochodzę do tej samej postaci, którą otrzymałem wcześniej.

Rozumiem to tak, że mam podstawić zmienną t za \(\displaystyle{ 3_{ \alpha }}\) zamiast za \(\displaystyle{ \sin 3_{ \alpha }}\), dzięki czemu otrzymam \(\displaystyle{ \sin t^2 - \sqrt{2}\sin t + \frac{1}{2} = 0}\) i następnie podstawiając zmienną \(\displaystyle{ U}\) za \(\displaystyle{ \sin t}\)otrzymam to samo równianie, które otrzymałem poprzednio; moje rozumowanie Twojego posta jest zatem błędne?

[Igor V]

Prawie dobrze.Po pierwsze zmieniłeś oznaczenia ,zamiast \(\displaystyle{ \alpha}\) piszesz \(\displaystyle{ x}\).Ale przede wszystkim zapomniałeś jeszcze o jednym rozwiązaniu :
\(\displaystyle{ 3\alpha =\pi - \frac{ \pi }{4} + 2k \pi}\)-- 5 paź 2014, o 16:59 --BTW :Twoje podstawienie też jest dobre

[Albercikkk]

O tak, właśnie tego drugiego rozwiązania potrzebuje - ono da mi tę drugą możliwość, której potrzebuję, tylko nie mogę kompletnie załapać skąd bierze się ta możliwość, którą przytoczyłeś.

[Igor V]

Wynika ono z tego że mamy \(\displaystyle{ \sin(x)=\sin(\pi-x)}\).A ta własność wynika z symetrii funkcji \(\displaystyle{ \sin(x)}\) (zerknij na jej wykres ,wybierz jakieś \(\displaystyle{ x}\) oraz zaznacz je i \(\displaystyle{ \pi-x}\) ,to zobaczysz o co chodzi).A potem jeszcze jak dopisujesz \(\displaystyle{ 2k\pi}\) to oczywiście z okresowości tej funkcji.

BTW 2:
Tam to co sugerowałem to wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ u^2 - \sqrt{2}u + \frac{1}{2} = 0}\)

[Albercikkk]

Dzięki, teraz chyba załapałem. Jeżeli dobrze rozumiem, to chodzi o to, że w przypadku gdy pomiędzy(dla \(\displaystyle{ \sin x}\)) \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 2 }}\) wybiorę jakiś punkt, to punkt o takiej samej wartości leży w takiej samej odległości pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) a \(\displaystyle{ \pi}\) - dobrze to rozumuję?

[Igor V]

Tak ,w dokładnie takiej samej odległości od \(\displaystyle{ \pi}\) ,a więc w odległości \(\displaystyle{ \pi-x}\) od \(\displaystyle{ 0}\).