Oblicz sumę wszystkich rozwiązań :

[matika]

Oblicz sumę wszystkich rozwiązań :
\(\displaystyle{ 2^{sin^{2}x}+2^{cos^{2}x}=3}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,320]}\)

Powiedzcie czy dobrze myślę
Robimy podstawienie za np. \(\displaystyle{ sin^{2}x=t}\) a za \(\displaystyle{ cos^{2}x=1-sin^{2}x}\) i liczymy normalnie funkcje kwadratową. Ale co z tym przedziałem?

[przemk20]

\(\displaystyle{ 2^x+ 2^{1-x} = 3, \ \ x=1 \ \ x=0 \\}\)
Rozwiazmy rownanie
\(\displaystyle{ \sin^2 x = 1 \ \ sin^2 x = 0 \\
\sin x = 1, \ \ x= \frac{\pi}{2} + 2k \pi \\
\sin x = -1, \ \ x=\frac{3}{2} \pi + 2k \pi \\
\sin x =0, \ \ x=k \pi \\
\frac{\pi}{2} + 50 2 \pi < 320 < \frac{\pi}{2} + 51 2 \pi, \\
\frac{3}{2} \pi + 50 2 \pi < 320 < \frac{3}{2} \pi + 51 2 \pi \\
101 \pi < 320 < 102 \pi \\}\)
Teraz zsumujesz w 1 i 2 od k=0 do k=50, a w drugim od k=0 do 101,

[matika]

Wszystko rozumiem do momentu wyliczenia x ( wyszło mi tak samo) ale dlaczego sumujemu od k=0 do k=50 lub od k=0 do k=101??

[przemk20]

bo dla k=50 w 1 i 2 przypadku x 320, a my szukamy x

[Lukasz_20]

1. brak zaznaczenia iż \(\displaystyle{ k C}\)
To oczywiście jeszcze nie koniec zadania, należałoby bowiem znaleźć odpowiedni sposób na obliczenie sumy wyrazów, np korzystając z sumy ciągów, gdyżpolecenie nie dotyczy ich ilości lecz sumy:
\(\displaystyle{ S_{1} + S_{2} + S_{3}}\)

\(\displaystyle{ S_{1}:

a_{1}=\frac{\Pi}{2}

a_{n}=\frac{\Pi}{2}+50\Pi

n_{1}=50


S_{1}=\frac{(\frac{\Pi}{2} + \frac{\Pi}{2} + 50\Pi) \ast 50}{2}

S_{2}:

b_{1}=\frac{3\Pi}{2}

b_{n}= \frac{3}{2\Pi} + 50\pi

n_{2}=50

S_{2}=\frac{(\frac{3\Pi}{2} + \frac{3\Pi}{2} + 50\Pi) \ast 50}{2}

S_{3}:

c_{1}=0

c_{n}=101\Pi

n_{3}=101

S_{3}=\frac{(0 + 101\Pi) \ast 101}{2}

S_{1}+S_{2}+S_{3}=168422,35 S_{1}+S_2}+S_{3}=\frac{15401\Pi}{2}}\)
*w pierwszym wyniku zastosowano przybliżenie dziesiętne.