trudniejsze zadania z trygonometrii

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: matematykiv »

1. \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha \cos \alpha - \cos 2 \alpha \sin 3 \alpha = - \cos 4 \alpha \sin \alpha}\)

2. Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sin ^{2} 16^{\circ} + \cos 46 ^{\circ} \cos 14 ^{\circ}}\) jest liczbą wymierną

chodzi o kąty w stopniach tylko nie wiedziałem jak dac stopnie, wiec dalem takie kropki \(\displaystyle{ \cdot}\)
A ja je poprawiłem bakala12

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie \(\displaystyle{ m \sin x = 2m - \sin x}\) ma rozwiązanie

policzyłem, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) \(\displaystyle{ x=k \pi}\) , ale nie wiem co dalej.

4. Oblicz \(\displaystyle{ \sin ^{4} x + \cos ^{4} x}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
nie mam pojęcia jak się to tego zabrać, pomóżcie.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2014, o 09:54 przez bakala12, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
mimik20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sty 2014, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 6 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: mimik20 »

2) Udowodnij że liczba ... ?
3) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie ... ? Ciężko pomóc, gdy nie zna się treści zadania.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: matematykiv »

mimik20 pisze:2) Udowodnij że liczba ... ?
3) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie ... ? Ciężko pomóc, gdy nie zna się treści zadania.

juz poprawilem, dzieki

2. jest liczba wymierna
3. dla ktorych rownanie ma rozwiazanie
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: Zahion »

3. Wyznaczając \(\displaystyle{ \sin x}\) mamy, że \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2m}{m+1}}\). Przypadek gdy \(\displaystyle{ m+1=0}\) trzeba rozpatrzeć osobno. Sinus przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \left\langle -1;1 \right\rangle}\) więc wystarczy rozwiązać nierówności \(\displaystyle{ -1 \le \frac{2m}{m+1} \le 1}\)
4. Z równania \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) i jedynki trygonometrycznej wyznacz \(\displaystyle{ \sin x, \cos x}\) wstaw te wartości do \(\displaystyle{ \sin ^{4} x + \cos ^{4} x}\) i masz wynik.
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2014, o 19:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: matematykiv »

Zahion pisze:3. Wyznaczając \(\displaystyle{ \sin x}\) mamy, że \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2m}{m+1}}\). Przypadek gdy \(\displaystyle{ m+1=0}\) trzeba rozpatrzeć osobno. Sinus przyjmuje wartości \(\displaystyle{ <-1;1>}\) więc wystarczy rozwiązać nierówności \(\displaystyle{ -1 \le \frac{2m}{m+1} \le 1}\)
4. Z równania \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) i jedynki trygonometrycznej wyznacz \(\displaystyle{ sinx, cosx}\) wstaw te wartości do \(\displaystyle{ \sin ^{4} x + \cos ^{4} x}\) i masz wynik.

moge podniesc \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) do kwadratu czy jakos inczej wyznaczyc tego sinusa i cosinusa?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: Zahion »

Z jedynki trygonometrycznej masz, że \(\displaystyle{ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\) z równania \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) mamy, że \(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{ \sqrt{2} } - \cos x}\) wstaw do jedynki i wyznacz \(\displaystyle{ \cos x}\), następnie \(\displaystyle{ \cos x}\)
Z drugiej strony możesz też \(\displaystyle{ \sin^{4} x + \cos^{4} x = (\sin^{2} x + \cos^{2} x) - 2(\sin^{2} x \cos^{2} x)=1-2(\sin x \cos x)^{2}}\). Wystarczy tak jak napisałeś, równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) podnieść stronami do kwadratu i obliczyć \(\displaystyle{ \sin x \cos x}\) korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\)
mimik20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sty 2014, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 6 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: mimik20 »

2) \(\displaystyle{ \sin ^{2} 16^\circ + \cos 46 ^\circ \cos 14 ^\circ = \sin ^{2} 16 ^\circ + \cos \left( 30^\circ+16^\circ \right) \cos \left( 30^\circ-16^\circ \right)}\)\(\displaystyle{ \sin ^{2} 16 ^\circ + \left( \cos 30^\circ \cos 16^\circ - \sin 30^\circ \sin 16^\circ \right) \left( \cos 30^\circ \cos 16^\circ + \sin 30^\circ \sin 16^\circ \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin ^ {2} 16^\circ + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos 16^\circ - \frac{1}{2} \sin 16^\circ \right) \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos 16^\circ + \frac{1}{2} \sin 16^\circ \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin ^ {2} 16^\circ + \left( \frac{ 3 }{4} \cos ^{2}16^\circ - \frac{1}{4} \sin ^{2}16^\circ \right)}\)
Z jedynki trygonometrycznej wyznaczasz sinus (lub cosinus):
\(\displaystyle{ \sin ^ {2} 16^\circ = 1 - \cos ^ {2} 16^\circ}\)
\(\displaystyle{ 1 - \cos ^ {2} 16^\circ + \left( \frac{ 3 }{4} \cos ^{2}16^\circ - \frac{1}{4} \left( 1 - \cos ^ {2} 16^\circ \right) \right) = \frac{3}{4}}\)
ckd.
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2014, o 20:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

trudniejsze zadania z trygonometrii

Post autor: Zahion »

Add. 1
Wyprowadzając wzory mamy, że
0) \(\displaystyle{ \cos^{2} x = 1-\sin^{2} x}\)
1) \(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x \cdot \cos x}\)
2) \(\displaystyle{ \cos 2x = 1-2\sin^{2} x}\)
3) \(\displaystyle{ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^{3} x}\)
4) \(\displaystyle{ \cos 4x = 8\sin^{4} x -8\sin^{2} x + 1}\)
Teraz tylko przekształcamy lewą stronę
\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha \cos \alpha - \cos 2 \alpha \sin 3 \alpha = 2\sin x \cos^{2} x - (1-2\sin^{2} x)(3\sin x -4\sin^{3} x)= 2\sin x(1-\sin^{2} x)-(1-2\sin^{2} x)(3\sin x -4\sin^{3} x) = -8\sin^{5} x +8\sin^{3} x -\sin x = -\sin x(8\sin^{4} x - 8\sin^{2} x + 1) = -\sin x \cos 4x}\)
ODPOWIEDZ