Udowodnij tożsamość trygonometryczną

[Zahion]

Rozpisz najpierw wyrażenie w nawiasie, tj. uprość jak najbardziej i zobacz.

[weronika08083]

okej .
\(\displaystyle{ 1=\sin ^{2}+\cos ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}}\)
a co zrobić z \(\displaystyle{ \tg 2x}\) ?

-- 20 wrz 2014, o 15:09 --

na podwojony kąt tangensa wzoru nie brałam ;(

[pyzol]

Wystarczy, że zapiszesz \(\displaystyle{ \tg 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}\) i rozpisz sinus i cosinus, na pewno wyjdzie Mi wyszło.

[weronika08083]

wychodzi mi
\(\displaystyle{ \cos2x \left( \frac{2\sin^{2}}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \right) +1}\)

-- 20 wrz 2014, o 15:21 --

dobrze ? i co dalej ?

[pyzol]

\(\displaystyle{ \cos 2x \left( 1 + \tg x \cdot\tg 2x \right) = \left( 1+ \frac{\sin x\sin 2x}{\cos x\cos 2x} \right) \cos 2x = \cos 2x + \frac{\sin x\sin 2x}{\cos x}=\cos 2x + \frac{2\sin ^{2}x\cos x}{\cos x}=\cos 2x + 2\sin ^{2}x = \left( \cos ^{2}x-\sin ^{2}x \right) + 2\sin ^{2}x = \sin ^{2}x+\cos ^{2}x = 1}\) .

Natomiast u Ciebie mamy, że
\(\displaystyle{ \cos 2x \left( \frac{2\sin ^{2}}{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x} \right) +1 = \left( \cos ^{2}x-\sin ^{2}x \right) \frac{2\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}+1 = 2\sin ^{2}x + 1 \neq 1}\)
Poszukaj błędu u siebie w obliczeniach.

[weronika08083]

a w przykładzie d ? którą stroną powinnam się zająć ?

[Jan Kraszewski]

Lewą.

JK

[weronika08083]

no i który wzór na podwojony cosinus użyć ?

[musialmi]

Dam ci radę, którą zastosowałem w życiu: zapamiętaj te wzory, w temacie podwojonych kątów:
a) \(\displaystyle{ \sin 2x = 2 \sin x \cos x}\)
b) \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x}\)
A pozostałe opcje tych wzorów wyprowadzaj sama z użyciem jedynki trygonometrycznej, podstawowej tożsamości trygonometrycznej! \(\displaystyle{ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\)

[weronika08083]

kurde , no nie potrafie tego zrobić ...
zaczynam się dołować z tego powodu

[musialmi]

Ogólnie zawsze przekształcaj bardziej skomplikowaną stronę w prostszą. Obczaj to: jak już zastosujesz podwójny cosinus, to zobacz, że po prawej stronie w mianowniku masz kwadrat podwójnego sinusa. Zapisz sobie go z boku w innej postaci, ze wzoru na sinus podwojonego kąta i spróbuj lewą stronę doprowadzić do tego. Albo lepsza metoda - podpowiedź: jedynka trygonometryczna działa też dla podwojonych kątów i dla potrójnych i innych też

[weronika08083]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}2x = (2\sin x \cos x)^{2}}\) ?-- 20 wrz 2014, o 16:40 --dobrze rozumiem ?

[Zahion]

Jeżeli nie możesz sobie poradzić, napisz nam obliczenia, bo inaczej do niczego nie dojdziemy sensownego.

[weronika08083]

d) \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos^{2}x - \sin^{2}x} - \frac{1}{1+\cos^{2}x-\sin^{2}x}}\)
i na tym koniec , nie wiem co robić

[pyzol]

Musisz sama kombinować, aby nabrać wprawy. W tym przypadku najłatwiej zrobić by po obu stronach pojawił się \(\displaystyle{ \cos 2x}\). Wystarczy z prawej strony skorzystać z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=1-\cos^2 2x}\).
Otrzymasz taką tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos 2x} - \frac{1}{1+\cos 2x} = \frac{2\cos 2x}{1-\cos ^{2}2x }}\).
Co właściwie sprowadza się do udowodnienia tożsamości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t} = \frac{2t}{1-t^{2}}}\)