Równanie z sinusem, o co chodzi z "k"?

[Devilisha]

Witam! Mam proste równianie z sinusem, \(\displaystyle{ x\in(0;2 \pi)}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{1}{2}}\)
wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\): wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}+k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\). Problem polega na tym że to nie wszystko odpowiedzi podają jeszcze \(\displaystyle{ \frac{13 \pi }{12}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{17 \pi }{12}}\), nie rozumiem skąd się biorą te dwie ostatnie odpowiedzi, wiem że coś się robi z tym "\(\displaystyle{ k}\)" ale nie rozumiem jak. Proszę o dokładne wytłumaczenie

Z góry dziękuje za pomoc

[jarek4700]

Przecież dla \(\displaystyle{ k=1}\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{13\pi}{12}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{17\pi}{12}}\)

No chyba że tam w odpowiedziach jest użyte np. \(\displaystyle{ 2k}\) a nie \(\displaystyle{ k}\).

[Jan Kraszewski]

wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\): wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}+k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\). Problem polega na tym że to nie wszystko odpowiedzi podają jeszcze \(\displaystyle{ \frac{13 \pi }{12}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{17 \pi }{12}}\), nie rozumiem skąd się biorą te dwie ostatnie odpowiedzi, wiem że coś się robi z tym "\(\displaystyle{ k}\)" ale nie rozumiem jak.

Twoje pytanie wskazuje, że nie tyle "wiesz, jak wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)", co "znasz przepis wyznaczania \(\displaystyle{ x}\), ale go nie rozumiesz".

To dziwne \(\displaystyle{ k}\) bierze się stąd, że sinus jest funkcją okresową i podstawowe rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12}}\) powtarzają się co okres (w tym przypadku co \(\displaystyle{ \pi}\), bo okresem funkcji \(\displaystyle{ \sin2x}\) jest właśnie \(\displaystyle{ \pi}\)) i to \(\displaystyle{ k}\) oznacza całkowitą wielokrotność okresu.

Twoja odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}+k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\) jest zatem rozwiązaniem równania w sytuacji ogólnej, bez dodatkowych założeń (oczywiście pod warunkiem, że dodasz informację, iż \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną liczbą całkowitą). A w tym konkretnym zadaniu założenie jest: \(\displaystyle{ x\in(0,2\pi)}\). Trzeba zatem z liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}+k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\) wybrać te, które są w zadanym przedziale. Okazuje się, że są cztery takie liczby:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12},\frac{5 \pi }{12},\frac{ \pi }{12}+\pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} +\pi}\).

JK

[Devilisha]

Jan Kraszewski, dzięki za bardzo proste i jasne wyjaśnienia tylko mam jeszcze jedno pytanie; w jaki sposób wyznaczyć te rozwiązania mieszczące się w tym określonym przedziale \(\displaystyle{ (0;2 \pi )}\)?

[kalwi]

na przykład rozwiązujesz coś takiego:

\(\displaystyle{ 0 < \frac{ \pi }{12}+k \pi < 2\pi}\)

oraz dokładasz warunek, że \(\displaystyle{ k}\) należy do całkowitych (np. wstawiasz tu \(\displaystyle{ k=-1}\) i patrzysz, że nie pasuje, więc wstawiasz \(\displaystyle{ 0}\), pasuje, idziesz do \(\displaystyle{ k=1}\), patrzysz czy pasuje i tak dalej, aż w końcu przekroczysz zakres)

[Jan Kraszewski]

Możesz też narysować sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin 2x}\) i zobaczyć, ile punktów wspólnych z prostą \(\displaystyle{ y=\frac12}\) będzie w przedziale \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\). "Wadą" tego rozwiązania jest to, że trzeba wiedzieć, jak wygląda wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin 2x}\)... Ale jak się nie wie, to zawsze można się nauczyć.

JK