Problem ze zrozumieniem równania trygonometrycznego.

[MuKuL]

Hejka mam taki oto problem...
Załóżmy najpierw, że mam proste równanie trygonometryczne do rozwiązania:

\(\displaystyle{ \sin 3x = -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Rozwiązanie jest dość banalne - szukam przecięcia funkcji \(\displaystyle{ \sin 3x}\) z prostą \(\displaystyle{ y = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\); zatem:

\(\displaystyle{ 3x = - \frac{ \pi }{4} + k2\pi \vee 3x = - \pi + \frac{ \pi }{4} + k2\pi}\)

\(\displaystyle{ x = - \frac{ \pi }{12} + \frac{k2\pi}{3} \vee x = - \pi + \frac{ 3\pi }{12} + \frac{k2\pi}{3} , k\in Z}\)

I wszystko pięknie ładnie. Ale teraz mam coś, czego do końca nie mogę rozgryźć...

\(\displaystyle{ \sin 3x = \sin (x + \frac{\pi}{4})}\)

Jeśli będę postępował zgodnie z wcześniejszym schematem to uzyskam poprawną odpowiedź:

\(\displaystyle{ 3x = x + \frac{\pi}{4} + k2\pi \vee 3x = \pi - (x + \frac{\pi}{4}) + k2\pi}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{8} + k\pi \vee x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}, k \in Z}\)

Pytanie brzmi: dlaczego tak? Tzn. postąpiłem wg. schematu, ale przecież mogłoby być tak, że zbiorem wartości tych funkcji będzie \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) i wtedy musiałbym podejść do tego inaczej - oczywiście po spojrzeniu na funkcje 0 odpada, ale musiałbym jeszcze sprawdzić, czy możliwe jest \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) i jakoś podstawiać za \(\displaystyle{ x}\) np. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) (przy prawej stronie równania aby doprowadzić do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)) i sprawdzić, czy lewa strona będzie zwracała to samo (oczywiście w tym przypadku tak nie jest). Ale... czy jest jakiś szybszy sposób założenia, że zbiorem wartości będzie \(\displaystyle{ -1, 0, 1}\) lub liczby pomiędzy tymi wartościami? Ostatecznie wpływa to na sposób rozwiązania równania.

[piasek101]

Czyli w drugim zobaczyłeś gdzie się przecinają te wykresy ? - bo piszesz, że robisz jak w pierwszym.

[MuKuL]

Czyli w drugim zobaczyłeś gdzie się przecinają te wykresy ?

No właśnie problem polega, że nie wiem gdzie się przecinają te wykresy i nie wiem jak to sprawdzić - moje rozwiązanie było trochę takie na "chybił trafił" i wyszło... problem z tym, że nie wiem do końca dlaczego tak, a nie inaczej :> I chodzi mi ogólnie o takie równania, gdzie po obu stronach mam dwie funkcje i jak się w zasadzie do rozwiązywania takiego zadania zabrać.

[piasek101]

Bo to raczej tylko szczęśliwy traf.

Oba sinusy na lewą, odjąć je (wzór na różnicę sinusów) - jest postać iloczynowa - przyrównać czynniki do zera.