Zadanie, przekształacenia trygonometryczne

[Papkin]

Bardzo proszę o rozwiązanie tego zadania, bo jakoś nie mam na nie pomysłu:
sinα+cosα=31/29. Jaką wartość ma wyrażenie sinα-cosα

[setch]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin + \cos = \frac{31}{29}\\\sin ^2\alpha + \cos ^2 =1\end{cases}}\)
Z tego policzysz sinusa i cosinusa a dalej latwo juz

[Papkin]

Problem w tym, że nie umiem zbytnio rozwiązać tego typu układów równań-2gimn., jakbys mógł to sprowadzić do równań I stopnia,ew. pokazać sposób rozwiązania. Przepraszam za potencjalne ortografy, ale późno

[setch]

z pierwszego wyznaczasz ktorys wyraz \(\displaystyle{ \sin =\frac{31}{29} - \cos }\) i podstawiasz do drugiego.
\(\displaystyle{ (\frac{31}{29}- \cos )^2 + \cos =1}\) Policzszy cosinusa to bedzie i sunus

[Tristan]

Można też inaczej:
Skoro \(\displaystyle{ \sin + \cos =\frac{31}{29}=1+ \frac{2}{29}}\), więc podnosząc to równanie do kwadratu otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin^2 alpha + 2 \sin \cos + \cos^2 = 1+ \frac{4}{29} + \frac{4}{29^2}}\). Wiemy jednak, że \(\displaystyle{ \sin^2 + \cos^2 =1}\), więc \(\displaystyle{ 1+ 2 \sin \cos =1+ \frac{4}{29}+ \frac{4}{29^2}}\), czyli \(\displaystyle{ 2 \sin \cos =\frac{4 29 + 4}{29^2}=\frac{120}{29^2}}\). Wiemy więc, że \(\displaystyle{ - 2 \sin \cos =- \frac{120}{29^2}}\). Dodając stronami \(\displaystyle{ \sin^2 + \cos^2 }\) i korzystając z wzoru skróconego mnożenia dostajemy \(\displaystyle{ ( \sin - \cos )^2=\frac{29^2 - 120}{29^2}=\frac{721}{29^2}}\), więc \(\displaystyle{ \sin - \cos =\frac{ \sqrt{721}}{29} \sin - \cos =-\frac{ \sqrt{721}}{29}}\).